§ 44. Приближенные способы решения плоской задачи

В тех случаях, когда не удается найти точное решение плоской задачи, можно получить приближенное решение, воспользовавшись началом возможных перемещений и общими рассуждениями, приведенными в § 23. Будем пренебрегать объемными силами и определим плоское напряженное состояние при помощи функции напряжений Соответствующие этой функции напряжения и перемещения должны удовлетворять уравнению (50):

Допустим, что приближенное выражение функции напряжений может быть представлено в виде ряда

Причем функции подобраны таким образом, чтобы были удовлетворены условия на тех частях поверхности тела, где заданы поверхностные усилия.

Меняя в выражении (b) значения коэффициентов будем получать различные распределения напряжений, удовлетворяющие указанным выше условиям на поверхности. Приближенное решение задачи мы найдем, выбрав коэффициенты так, чтобы было удовлетворено условие (а), т. е. чтобы удовлетворяли уравнениям вида

Рис. 58.

В этих уравнениях выражены посредством функции напряжений Интегрирование в правых частях этих уравнений распространяется лишь на те части поверхности, где заданными являются перемещения так как на остальных частях поверхности производные обращаются в нуль. Если заданные перемещения и, равны нулю или же для всей поверхности тела заданными являются поверхностные усилия, то правая часть уравнений (с) обращается в нуль и коэффициенты придется определять из условия

Применим эти общие соображения к такому частному случаю. Предположим, что прямоугольная пластинка (рис. 58) сжимается между досками пресса, причем грани пластинки и остаются плоскими и точки этих граней могут перемещаться лишь параллельно оси х

Мы удовлетворим условиям на боковых гранях пластинки, если положим В самом деле, соответствующие выражения для напряжений представятся так:

Напряжения эти, очевидно, обращаются в нуль при Уравнения (с) в данном случае будут иметь такой вид:

Здесь через йобозначена величина сжатия пластинки. Толщина пластинки в направлении, перпендикулярном к плоскости ху, принята равной единице. Вставляя в эти уравнения выражения для напряжений, выразим все коэффициенты через величину сжатия

Нетрудно получить выражение тех же коэффициентов через величину сжимающей силы если воспользоваться уравнением статики

Рис. 59.

Все указанные вычисления были произведены для случая квадратной пластинки, у которой Полученное распределение нормальных и касательных напряжений по плоскостям соприкосновения пластинки с досками пресса представлено на рис. 59. Благодаря трению, препятствующему поперечному расширению пластинки, нормальные напряжения распределяются по плоскостям соприкасания с досками пресса неравномерно. Наименьшее напряжение имеет место посредине ширины пластинки (при ). Величина наибольшего напряжения отличается от среднего напряжения примерно на 12%.

Касательные напряжения по плоскостям соприкосновения обращаются в нуль при и при Наибольшего значения, равного эти напряжения достигают при

Чтобы выяснить степень точности полученного результата, были произведены повторные вычисления при меньшем числе членов в функции напряжений. Результаты вычислений для случая, когда были взяты лишь первые три члена в функции напряжений с соответствующими коэффициентами представлены на рисунке пунктиром. Мы видим, что результаты вычислений при пяти и при трех членах мало отличаются друг от друга. Это дает некоторое основание заключить, что намеченный приближенный способ дает в рассматриваемом случае удовлетворительные результаты Что касается деформаций пластинки, то, как и следовало ожидать, касательные напряжения по плоскостям соприкасания увеличивают жесткость пластинки и получаемое общее сжатие меньше, чем при простом сжатии той же пластинки.

Другой приближенный способ решения плоской задачи дан Л. Ф. Ричардсоном. Ричардсон заменяет основное дифференциальное уравнение плоской задачи соответствующим уравнением в конечных разностях и дает вычислительный способ приближенного определения значений функции напряжений внутри заданного контура, если значения этой функции на контуре определены из условий на поверхности. Свой метод Л. Ф. Ричардсон применяет к решению весьма важной задачи: определению напряжений, возникающих в подпорных стенках

Приближенное решение плоской задачи может быть получено также и экспериментальным путем. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что основное дифференциальное уравнение плоской задачи совершенно совпадает с дифференциальным уравнением изогнутой поверхности пластинки, изгибаемой силами и парами сил, приложенными по контуру. Задача о разыскании распределения напряжений в случае плоской деформации эквивалентна задаче об искривлении пластинки, определенным способом закрепленной по контуру. Исследуя экспериментальным путем искривление пластинки с определенным контуром и определенным способом закрепления по этому контуру, можно получить распределение напряжений для соответствующей плоской задачи.