§ 62. О напряжениях, вызываемых в упругой среде сосредото чениой силой

При решении соответствующей плоской задачи мы видели, что напряжения в точке приложения сосредоточенной силы обращаются в бесконечность. По мере удаления от места действия силы напряжения убывают обратно пропорционально расстоянию В случае неограниченной упругой среды в точке

приложения сосредоточенной силы напряжения также обращаются в бесконечность, и, чтобы иметь право применять уравнения теории упругости, нужно представить себе точку приложения силы выделенной поверхностью сферы малого радиуса. Усилия, распределенные по этой поверхности, должны быть эквивалентны силе и так как поверхность сферы растет пропорционально квадрату радиуса, то напряжения должны убывать обратно пропорционально квадрату радиуса.

Для разыскания напряжений обратимся к уравнениям (108) и (110). До сих пор мы пользовались лишь теми решениями уравнения (110), для которых показатель степени старшего члена равен [см. уравнение (111)]. Другую серию решений мы получим, полагая этот показатель равным — Решение уравнения (110) представится при этом в следующем виде:

Полагая равным получаем для функции напряжений выражения

Умножая эти выражения на получаем еще ряд решений уравнения (108):

Каждая из полученных таким путем функций напряжений определяет собой некоторое распределение напряжений, возможное в упругой среде. Рассмотрим простейшее из полученных выше решений. Положим Вставляя это значение функции напряжений в формулы (106), получаем для напряжений значения

Легко показать, что эти напряжения соответствуют действию сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и направленной по оси z. Для этого выделим из неограниченной среды начало координат при помощи сферы и рассмотрим усилия, действующие по поверхности этой сферы. Составляющая этих усилий, имеющая направление оси z, представится на основании (101) так: Принимая во внимание равенства

и пользуясь формулами (125), получаем

Усилия действующие на поверхность выделенной сферы, имеют везде направление, противоположное оси z, и их можно привести к одной равнодействующей:

Что касается усилий то они, очевидно, представляют систему взаимно уравновешивающихся сил. Следовательно, найденное выше распределение напряжений (125), действительно соответствует сосредоточенной силе, направленной вдоль оси z и приложенной в начале координат. Произвольная постоянная определится из условия

Заметим, что по плоскости нормальные напряжения на основании (125) обращаются в нуль, что же касается напряжений то они представятся формулой