§ 34. О колебаниях упругих систем

При изучении колебаний упругих тел будем иметь дело с системами, имеющими бесконечное множество степеней свободы. Для определения изменений формы колеблющегося упругого тела нужно задать бесконечное мноясество

координат. В таких случаях выгодно пользоваться обобщенными координатами и обобщенными силами, как при выводе общих теорем Кастилиано и Бетти, играющих столь важную роль при решении различных задач статики упругих систем. От задач динамики мы всегда можем перейти к задачам статики, пользуясь началом Даламбера. Присоединяя к действующим силам силы инерции, на основании начала возможных перемещений можем для любой системы написать уравнение

Здесь суммирование должно быть распространено на все точки системы; буквой обозначаются массы этих точек; обозначают проекции равнодействующей всех сил, приложенных к какой-либо точке на координатные оси; наконец представляют собой возможные перемещения точек системы, т. е. те малые перемещения, которые дозволяются устройством системы. Между величинами должны существовать вполне определенные зависимости, устанавливаемые на основании условий связи.

Рис. 73.

Мы упростим решение задачи, если вместо декартовых координат возьмем новые координаты и подберем их таким образом, чтобы они были совершенно независимы, т. е. чтобы устройство системы позволяло каждой из этих координат давать совершенно произвольные приращения. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких систем, для которых между старыми и новыми координатами имеются зависимости вида

В уравнения (b) не входит явно время t, кроме того, они не включают производных касается вида координат, то он может быть весьма различен в зависимости от устройства системы. Иногда эти координаты представляют собою длины некоторых отрезков, иногда они будут являться углами поворота или представят собой изменения некоторых площадей, некоторых объемов и т. д.

В качестве пояснения приведем такой пример: предположим, что система состоит из точки А, соединенной с неподвижной точкой О посредством идеально твердого стержня длины (рис. 73). При движении точка А, очевидно, должна находиться на поверхности шара радиуса Ее координаты х, у, z связаны между собой условием связи и потому приращения этих координат не могут быть совершенно произвольными.

В качестве независимых координат мы могли бы в данном случае взять углы которыми вполне определяется положение точки А на шаровой поверхности. Тогда зависимость между старыми и новыми координатами

запишется так:

Новым координатам можно давать совершенно произвольные приращения. Приращению будет соответствовать перемещение точки А по параллельному кругу, определяет собой перемещение точки А по меридиану.

В качестве второго примера можно взять изгиб стержня с опертыми концами. Общее выражение для прогиба может быть представлено так:

Здесь за координаты можно принять коэффициенты Им можно давать произвольные приращения. Каждому такому приращению будет соответствовать прогиб по некоторой синусоиде.

Расширяя таким образом понятие о координатах и пользуясь обобщенными координатами, мы должны ввести в наше рассмотрение также и понятие об обобщенной силе. Мы условимся называть обобщенной силой соответствующей обобщенной координате тот множитель, на который приходится умножать приращение координаты чтобы получить работу приложенных к системе сил на соответствующих этому приращению перемещениях.

В первом примере (рис. 73) обобщенная сила соответствующая координате представляет собой взятый с надлежащим знаком момент приложенной к точке А силы относительно оси

Обобщенная сила представляется моментом приложенной в А силы относительно оси, перпендикулярной к и проходящей через точку О. Различные выражения обобщенной силы во втором примере мы уже выяснили ранее в связи с применением тригонометрических рядов к исследованию изгиба стержней (см. § 12). Из нашего определения обобщенной силы и обобщенной координаты следует, что правая часть общего уравнения (а) в новых координатах представится так:

Займемся теперь преобразованием к новым координатам левой части того же уравнения. Для упрощения рассуждений возьмем перемещения системы, соответствующие приращению одной какой-либо из независимых координат, например координаты Тогда имеем

Левая часть уравнения (а) перепишется так:

Опуская множитель можем представить это выражение в виде такой разности:

Обе входящие сюда суммы легко могут быть преобразованы к новым координатам, если мы воспользуемся выражением для живой силы Т:

Из него получаем

На основании наших ограничений относительно зависимостей (b) заключаем, что

Следовательно,

и первое из равенств напишется так:

Таким образом, при помощи выражения для живой силы системы может быть преобразована первая из сумм, входящих в Для преобразования второй суммы воспользуемся равенством

Тогда второе из равенств дает нам

Окончательно выражение (f), преобразованное к новым координатам, запишется так:

и уравнение (а) при изменении только координаты представится в таком виде:

В дальнейшем при исследовании движения упругих тел выгодно будет отделять внешние приложенные к системе силы от внутренних сил упругости. Эти последние имеют потенциал, и если через V обозначить потенциальную энергию деформации, то работа внутренних сил упругости на перемещениях, соответствующих приращению координаты будет и уравнение (h) перепишется таким образом:

Здесь при составлении обобщенной силы нужно принимать во внимание лишь внешние силы, приложенные к упругой системе. Уравнение вида (146) может быть написано для каждой из координат и этим уравнением воспользуемся при исследовании колебаний упругих тел.

Будем рассматривать лишь малые колебания тел около их положения равновесия и координаты будем отсчитывать от положения равновесия. В таком случае потенциальная энергия представится однородной функцией второй степени от координат:

Живая сила системы в случае малых колебаний представится однородной функцией второй степени от скоростей и мы можем написать ее так:

Здесь коэффициенты, которые в случае малых колебаний можно считать постоянными.

Подставляя выражения для в дифференциальные уравнения движения (146), приходим к системе линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Особенно просто напишется эта система уравнений, если обобщенные координаты выберем так, чтобы в выражениях для живой силы и потенциальной энергии системы пропали члены, содержащие произведения координат и соответствующих им скоростей. Выбранные таким образом координаты называются главными или нормальными координатами системы. В дальнейшем обозначим их через Тогда живая сила и потенциальная энергия системы представятся так:

и уравнения (146) приобретают следующий простой вид:

Каждое такое уравнение представляет собой простое гармоническое колебание [§ 33], которому соответствует изменение лишь одной из главных координат. При этом колебании все точки колеблющейся системы будут в каждый момент находиться в одной фазе. В один и тот же момент все они будут проходить через свое среднее положение и также одновременно будут достигать наибольших отклонений. Колебания эти будем называть главными или нормальными. Из них, как мы видим, складывается самое общее колебание системы. Периоды главных колебаний определяются величинами коэффициентов следовательно, будут зависеть лишь от устройства системы. В дальнейшем будем называть основным типом колебания системы то колебание, которому соответствует наибольший период.