§ 6. Поверхность напряжения

Пользуясь выражением (6) для нормального напряжения по площадке с нормалью х, легко дать геометрическое представление изменения этого напряжения при поворачивании площадки. Будем по направлению нормали к каждой площадке откладывать от начала координат отрезок длина которого обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютного значения соответствующего нормального напряжения. Если для переменного направления нормали сохранить обозначение то будем иметь такую зависимость?

где k — постоянный коэффициент пропорциональности.

Координаты концов откладываемых таким образом отрезков определятся формулами

Вставляя значение определяемое из условия (а), в формулу (6), на основании равенств (Ь) получим

Таким образом, концы всех отложенных нами отрезков располагаются на поверхности, описываемой уравнением второго порядка (8). Поверхность эта является вполне определенной для заданной точки тела и при изменении координат х, у, z будут изменяться лишь коэффициенты

в уравнении (8). Всегда можно так выбрать направление осей, чтобы в уравнении поверхности второго порядка (8) члены, заключающие произведение координат, пропадали. При таком направлении осей будут пропадать касательные составляющие напряжения, и по площадкам, совпадающим с координатными плоскостями, будем иметь только нормальные напряжения.

Условимся выбранные таким образом оси называть главными осями, а соответствующие нормальные напряжения — главными напряжениями. Очевидно, что можно вполне определить напряженное состояние в данной точке, если заданы направления главных осей и величины главных напряжений.

Заметим, что в силу уравнения (8) сумма нормальных напряжений остается неизменной при поворачивании осей.