§ 10. Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и растяжения
В качестве основного случая рассмотрим изгиб балки сосредоточенной силой 
(рис. 14). Уравнение изогнутой оси и дальнейшие формулы для этой задачи мы можем написать сразу, если только воспользуемся результатами § 8, полученными для случая сжатой балки. Для этой цели нужно только изменить знак у продольной силы. В таком случае вместо величин 
в наши формулы везде войдут величины 
и нам придется вместо 
поставить 
Вводя на основании равенств 
вместо тригонометрических функций гиперболические, получаем из формул (25) и (26) для левой части балки такие выражения:
Рис. 14.
Для правой половины балки получим подобные формулы, нужно только поставить вместо с величину I — с, вместо 
величину 
и изменить знак у. Из этих формул путем сложения действия сил могут быть легко получены решения для всех тех случаев, которые мы разобрали раньше в связи с изгибом сжатых балок. Так, например, для изгиба балки двумя равными и прямо противоположными парами 
приложенными по концам, получим
Для изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметь
Комбинируя эти два случая, легко находим решения для балки с абсолютно или упруго заделанными концами.
В первом случае имеем [см. формулу (39)]
Во втором случае для опорных пар получим такое выражение:
Уравнение упругой линии в этом случае, на основании (41), напишется таким образом:
Здесь величина х представляет собой коэффициент опорной пары, определяемый на основании (48) так: 
-абсолютной заделке 
при свободно поворачивающихся концах 
Величина эта зависит не только от жесткости закрепления, характеризуемой величиной а, но и от величины продольной силы 
При малом значении силы 
т. е. при малых и, мы можем положить 
Возьмем закрепление, при котором 
Тогда при отсутствии продольной силы будем иметь 
Прикладывая силу 
и постепенно увеличивая ее, получаем при различных и такие значения для 
Коэффициент опорной пары в этом случае быстро убывает с увеличением продольной силы Следовательно, влияние заделки концов с возрастанием растягивающей силы также быстро уменьшается.
Воспользуемся уравнением упругой линии и приведем здесь ряд основных формул, которые могут понадобиться при расчете равномерно нагруженной балки с упруго заделанными концами, подвергающейся действию продольных растягивающих сил 
Наибольший прогиб, очевидно, получится по середине пролета. Полагая в уравнении 
получаем для него значение
Для упрощения вводим такие обозначения:
Тогда будем иметь
При 
получаем отсюда прогиб балки с опертыми концами, при 
имеем случай абсолютно заделанных концов. Если положим 
то 
и мы придем к известным формулам для балок, подвергающихся лишь действию равномерно распределенной нагрузки. Если величины и их известны, то вычисление прогибов по формуле (50) не представит никаких затруднений. Для облегчения вычислений мы в табл. 2 приводим значения функций 
для ряда значений 
.
Величину изгибающего момента посередине пролета получим так:
Введя для краткости обозначения
представим выражение для изгибающего момента посередине в таком виде:
Наконец, опорный момент на основании (47) представится так:
где
При помощи формул (51) и (52) легко решается вопрос о наибольших напряжениях в рассматриваемом случае» Числовые значения функций 
и 
приводимые в табл. 2, значительно облегчают соответствующий расчет.
Таким же путем, как и в случае сжатых балок, мы можем прийти к заключению, что норма допускаемых напряжений при одновременном действии изгиба и растяжения может быть повышена, так как функции 
убывают с возрастанием продольной силы.
В заключение отметим, что при беспредельном увеличении и первым членом в уравнении (49) можно будет пренебречь по сравнению со вторым, тогда придем к такому выражению:
Это известная формула для малых прогибов тяжелой гибкой нити.
