§ 74. Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию продольного сжатия

Предположим, что цилиндрическая трубка со свободной от усилий боковой поверхностью испытывает равномерное продольное сжатие. Увеличивая сжимающие напряжения, мы можем достигнуть предела, когда цилиндрическая форма равновесия перестанет быть устойчивой и трубка выпучится. Частный случай, когда искривленная поверхность симметрична относительно оси трубки, нами был рассмотрен ранее (см. § 69). Здесь разрешим ту же задачу в более общем виде, для чего воспользуемся уравнениями (269). Мы удовлетворим этим уравнениям, если положим

Это соответствует цилиндрической форме равновесия сжатой трубки. Под действием продольного сжатия трубка получает некоторое увеличение диаметра, постоянное во всех сечениях. С увеличением сжатия мы достигаем предела, когда эта форма равновесия перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются. Предположим, что края трубки закреплены так, что при выпучивании концы трубки сохраняют круговое очертание по концам трубки) и изгибающие моменты по концам равны нулю. Уравнения (269), если входящие в них усилие и моменты выразить через перемещения перепишутся так:

Мы можем удовлетворить этим уравнениям, положив и допустив, что функции только х.

В таком случае уравнения (272) перепишутся так:

и мы придем к форме выпучивания, симметричной относительно оси, т. е. к решению, которое нами было рассмотрено раньше.

Для получения критических значений сжимающих напряжений в случае форм равновесия, несимметричных относительно оси, возьмем решения

уравнений (272) в такой форме:

Здесь I обозначает длину трубки. Начало координат расположено на одном из концов трубки.

Подставив (с) в уравнения (272) и введя для сокращения обозначения

придем к таким уравнениям:

Принятая нами искривленная форма равновесия становится возможной, когда определитель полученной системы уравнений (е) будет обращаться в нуль. Приравнивая этот определитель нулю, получаем для величины у квадратное уравнение, из которого можно найти у и соответствующее значение критической сжимающей силы. Отбрасывая малые члены, имеющие множителями величины приходим к такому результату:

Рассмотрим сначала случай, когда длина сжимаемой трубки мала или трубка при выпучивании подразделяется по длине на большое число коротких волн. При таком условии представляет собой большое число, и мы, ограничиваясь в решении (273) главными членами, получаем

При мы получаем отсюда прежний результат (см. § 69) для критического сжатия в случае деформации трубки, симметричной относительно оси. Наименьшее значение для у дает нам формула (274) при

Этому соответствует такое же значение критических напряжений, как и для формы равновесия, симметричной относительно оси, и мы можем сделать такое заключение: пока длина трубки так мала, что

мы будем при выпучивании получать деформацию, симметричную относительно оси трубки. С увеличением длины и убыванием у будут появляться две, три и т. д. волны по окружности цилиндра, но величина критических напряжений будет весьма мало колебаться, оставаясь примерно такой же, как при

При дальнейшем увеличении длины мы снова в качестве первой искривленной формы равновесия получим форму, симметричную относительно оси трубки и т. д. На основании этого заключаем, что в случае коротких трубок или в случае длинной трубки, подразделяющейся при выпучивании на большое число полуволн в направлении длины, критическое напряжение следует принимать равным тому, которое мы получили для формы равновесия, симметричной относительно оси.

Рассмотрим теперь второй крайний случай, когда величина у, входящая в выражение (273), мала, т. е. когда длина тех волн, на которые подразделяется по длине выпучивающаяся трубка, велика по сравнению с диаметром. Сохраняя главные члены в выражении (273), получаем

При из (275) получаем

что совершенно совпадает с формулой Эйлера для случая стержня с опертыми концами, так как есть не что иное, как квадрат радиуса инерции поперечного сечения тонкостенной трубки. Перемещения при этом представятся так:

Каждая точка трубки при выпучивании совершает перемещение, равное и параллельное плоскости поперечное сечение остается круговым.

Для мы, опуская в формуле (275) малые величины высших порядков, получаем

Наименьшее значение для у мы получаем, полагая

чему соответствует

Таким образом, при значительной длине трубки первая искривленная форма будет по длине состоять из сравнительно длинных полуволн и критическое напряжение получается при этом меньшим, чем в изученном выше случае формы равновесия, симметричной относительно оси.

Пользуясь предыдущими результатами, мы можем сделать некоторые заключения об устойчивости цилиндрической оболочки, ограниченной двумя прямолинейными образующими цилиндра и двумя параллельными кругами и сжатой вдоль образующих. Пусть а — центральный угол, соответствующий рассматриваемой части цилиндрической оболочки. В качестве решения уравнений (272) возьмем

При этом радиальные перемещения и изгибающие моменты по контуру оболочки обращаются в нуль. Для определения критических напряжений мы можем воспользоваться формулой (273), заменив в ней число величиной

Рассмотрим случай, когда у — большое число. Из формулы (274) при этом получаем

Особый практический интерес представляет тот случай, когда угол а мал. При этом искривленная форма равновесия выпучившейся оболочки будет иметь в направлении параллельного круга лишь одну полуволну При формула (274) дает нам в этом случае

Наименьшее значение сжимающих усилий получится при Обозначив через величину ширину сжимаемой пластинки, найдем для наименьшего у значение

откуда

что совпадает с известной формулой Дж. Брайана для сжатых прямоугольных пластинок с опертыми краями.

При конечном значении а и при наименьшее значение определяемое из формулы (274), представится так:

Первый член в этой формуле соответствует тому критическому усилию, которое мы получаем для длинной пластинки ширины с опертыми краями. Вторым членом оценивается увеличение жесткости, обусловленное начальным искривлением пластинки по цилиндрической поверхности.

При малом значении а мы можем воспользоваться следующей зависимостью между шириной искривленной пластинки и стрелкой ее начального прогиба Тогда формула может быть переписана в таком виде:

Мы видим, как быстро возрастает устойчивость сжатой пластинки, искривленной по цилиндрической поверхности, если увеличить стрелку начального прогиба

Прием, который мы применили в последних двух параграфах к исследованию устойчивости цилиндрической трубки, может быть использован также и для того случая, когда цилиндрическая трубка подвергается одновременному действию продольного равномерного сжатия и равномерного бокового давления. Подобного рода условия мы имеем, например, в случае проверки на устойчивость наружной обшивки подводной лодки.

Вопрос об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся скручиванию, оказывается задачей более сложной, так как выражения для перемещений уже не могут быть представлены простыми формулами (с).

Если края сжатой цилиндрической трубки не только свободно поворачиваются но и могут свободно смещаться, то при сжатии, превосходящем известный предел, трубка может принять новую форму равновесия, причем переход к этой форме не будет сопровождаться растяжением срединной поверхности. При этом образующие цилиндра останутся прямыми и лишь наклонятся к направлению сжатия.

Соответствующее значение критических сжимающих сил равно

Для коротких тонкостенных цилиндрических трубок это значение критических сжимающих усилий будет во много раз меньше того, что мы получили выше при несмещающихся концах сжимаемой трубки.