§ 44. О действии удара на балку

При технических расчетах задача о действии удара на балку решается обычно приближенно. Предполагают, что под действием удара балка изгибается по такой же кривой, как и при статическом действии силы в месте удара. Задавшись видом кривой, мы легко вычислим количество потенциальной энергии в балке при различных значениях прогиба в месте удара. В качестве первого приближения берут для динамического прогиба то значение, при котором потенциальная энергия изогнутой балки равна работе падающего груза. Таким путем получается известная формула

где через обозначена скорость ударяющего груза в момент его соприкасания с балкой.

Таким способом мы совершенно не учитываем потери живой силы груза, которая происходит в момент удара и потому, надо думать, получаем для преувеличенные значения. Потери живой силы будут, очевидно, тем больше, чем больше вес балки по сравнению с весом ударяющего груза. Чтобы учесть влияние массы балки на принимают во внимание потерю живой силы в момент удара, причем удар считают совершенно неупругим и массу балки заменяют некоторой приведенной массой, зависящей от способа закрепления концов балки и от места удара х. Если через обозначим отношение веса груза к весу балки и через обозначим коэффициент, на который множится масса балки для получения приведенной массы, то в качестве второго приближения для динамического прогиба получаем формулу

При составлении формул (а) и (b) исходят из предположения, что форма кривой изгиба балки такая же, как и в случае статического действия силы. В действительности явление значительно сложнее; в момент удара возникают поперечные колебания балки, которые приближенными формулами (а) и (b) не учитываются вовсе.

Изучению этих колебаний посвящен ряд работ Сен-Венана. Сен-Венан исходил из предположения, что удар совершенно не упругий, ударяющий груз в момент удара сообщает свою скорость соответствующему поперечному сечению стержня и в дальнейшем, по крайней мере в течение полупериода основных колебаний стержня, остается со стержнем в соприкасании. Таким образом, вопрос об ударе сводится к задаче о колебаниях стержня с прикрепленным к нему в месте удара грузом. Причем предполагается, что в начальный момент весь стержень находится в покое и лишь сечение, скрепленное с ударяющим грузом, обладает скоростью, равной скорости ударяющего груза. Колебания эти могут быть найдены таким же способом, как при продольных колебаниях стержня с подвешенным к нему грузом. В результате своих исследований Сен-Венан пришел к заключению, что второе приближение (b) с большой точностью дает величину наибольшего динамического прогиба.

Во всех этих исследованиях остается совершенно не выясненным вопрос о нарастании давлений, оказываемых грузом на балку в месте удара, и потому не доказано, будет ли

действительно ударяющий груз оставаться в соприкасании с балкой в продолжение одного полупериода основных колебаний. Для решения этих вопросов необходимо изучить местные деформации у поверхности соприкасания груза с балкой, что возможно лишь при определенных данных относительно вида поверхностей ударяющихся тел.

Предположим, что стержень прямоугольного поперечного сечения с опертыми концами подвергается действию удара шаром по середине пролета Для исследования местных деформаций можно в этом случае воспользоваться решением Герца (см. стр. 169). Если через обозначим давление в месте удара, то сближение ударяющихся тел в месте удара вследствие местных деформаций равно где коэффициент к зависит от упругих свойств ударяющихся тел и от радиуса шара. Сила возрастает вместе с вдавливанием шарика в поверхность балки и вызывает прогиб балки, который мы легко найдем, если воспользуемся общим приемом для исследования вынужденных колебаний (§ 40). Обобщенная сила в этом случае представится так:

и мы на основании формул (а) и (d) § 40 получим для прогиба по середине в момент также выражение

Если мы вдавливание а сложим с полученным прогибом балки, то должны получить перемещение центра тяжести шарика за промежуток времени от до t. То же самое перемещение возможно представить в ином виде на основании рассмотрения движения шарика, имеющего начальную скорость и находящегося под действием переменной силы В какой-либо момент скорость шарика будет равна

где масса шарика.

На основании этого перемещение шарика к моменту представится таким образом:

Сравнивая два различных выражения для одного и же перемещения шарика, приходим к такому уравнению:

Полученное уравнение возможпо решить вычислительным путем и получить, таким образом, изменение в зависимости от t. Мы ограничимся здесь приведением окончательных результатов, полученных нами для двух численных примеров.

В первом примере взята стальная балочка квадратного поперечного сечения для которой . На середину пролета балочки падает стальной шарик радиуса 1 см со скоростью см/сек. Период основных колебаний для такой балочки сек. При решении уравнения (с) вычислительным путем время было разделено на интервалы причем На рис. 812 кривая представляет закон нарастания давлений Для сравнения пунктиром показана соответствующая кривая для случая удара шарика о неподвижную плоскость. Мы видим, что в соприкасании с балочкой шарик остается в течение времени после этого шарик отделяется от балки. Перемещения шарика представлены кривой II и нарастание прогибов — кривой III.

Во втором примере взята балочка прежних поперечных размеров, но вдвое большей длины. В таком случае период собственных колебаний будет в четыре раза больше, чем в предыдущем примере. При ударе по этой балке шарика с радиусом 1 см явление удара протекает примерно так же, как и в предыдущем случае (см. рис. 82), но при радиусе шарика в 2 см картина становится более сложной. Нарастание давлений для этого случая представлено на рис. 82 кривой II.

Рис. 81.

Рис. 82.

Мы видим, что с момента удара шарик находится в соприкасании с балкой в течение примерно После этого шарик от балки отделяется, прогиб балки начинает расти быстрее перемещений шарика. При опять происходит соприкасание шарика с балкой, получается как бы повторный удар. Нарастание прогибов для этого случая представлено на рис. 82 кривой III.

Таким образом, явление удара в пределах упругости для рассмотренных простейших примеров оказывается гораздо более сложным, чем то представление об этом явлении, которое положено в основу приближенных формул и исследований Сен-Венана.