§ 38. Поперечные колебания стержней

С поперечными колебаниями мы встречаемся при расчете различного рода балок, подвергающихся действию переменных поперечных сил, при исследовании колебаний мостов и железнодорожных рельсов под действием подвижных нагрузок, при изучении вибраций, возникающих в корпусе судов под действием сил инерции неуравновешенных частей машин, и т. д.

Рис. 75.

Будем предполагать, что колебания совершаются в одной из главных плоскостей стержня. В таком случае будем иметь дело с плоским изгибом. Плоскость изгиба примем за координатную плоскость ху (рис. 75). При составлении дифференциального уравнения движения будем исходить из предположения, что поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной. В таком случае при изучении первых (наиболее низких) типов колебаний можно пользоваться приближенным уравнением для изогнутой оси балки

откуда двойным дифференцированием получаем

где обозначает интенсивность сплошной нагрузки.

Если стержень совершает свободные колебания, то придется при составлении уравнения изогнутой оси принять во внимание лишь силы инерции и положить

Здесь у — вес единицы объема стержня; площадь поперечного сечения стержня.

Уравнение движения для свободных колебаний стержня запишется так:

В случае призматических стержней это уравнение может быть написано в таком более простом виде:

где для сокращения введено обозначение

Предположим, что стержень совершает одно из главных колебаний частоты и перемещения изменяются с временем по закону косинуса. Тогда можно положить

где через X обозначена функция только х. Ею определяется форма той кривой, по которой изгибается стержень при колебаниях. Если выражение (а) подставим в основное уравнение (168), то для определения X получим дифференциальное уравнение четвертого порядка:

Общий интеграл этого уравнения будет включать четыре произвольные постоянные и может быть представлен в таком виде:

Из условий на концах стержня (по два условия на каждом конце) можно найти соотношения между произвольными постоянными и, кроме того, получить трансцендентное уравнение для определения частоты Уравнение это будет иметь бесчисленное множество корней. Каждому такому корню будут соответствовать своя функция и свой тип колебаний. Наложением таких колебаний можно получить самый общий вид поперечных колебаний стержня, удовлетворяющий любым начальным обстоятельствам движения.

Таким образом, в общем случае можно положить

Множители в скобках будут нормальными координатами, а соответствующие им функции нормальными функциями.

В дальнейшем при изучении вынужденных колебаний понадобятся выражения для потенциальной энергии V и для живой силы колеблющегося стержня. Пользуясь выражением (172), получаем для этих величин такие значения:

Вследствие основного свойства нормальных координат члены, включающие произведения координат или соответствующих им скоростей в выражениях (173) и (174), пропадают. В этом нетрудно убедиться при непосредственном интегрировании, если принять во внимание основное уравнение (168).

Пусть представляют собой нормальные функции порядка тип, причем Каждая из этих функций должна удовлетворять уравнению (170). Следовательно, будем иметь

Умножая первое уравнение на второе на вычитая одно из другого и потом тегрируя по всей длине стержня, получаем

или, выполняя в правой части интегрирование по частям, получаем

Правая часть этого равенства при и при обращается в нуль при любом способе закрепления концов, следовательно, интеграл, входящий в левую часть, должен равняться нулю (так как и выражение (174) не будет включать членов с произведениями координат. Подобным же образом может быть показано, что в выражении (173) пропадают члены с произведениями координат.

Воспользуемся выражением (b) для вычисления интеграла

который понадобится при составлении выражения (174) для кинетической энергии стержня. Если в равенстве (b) положить то каждая часть его тождественно обращается в нуль и мы не найдем значения нужного интеграла (с). Поступим иначе, положим

где некоторые отвлеченные числа. Посмотрим, во что обращается равенство (b), если к и величина беспредельно убывает. Принимая во внимание, что в этом случае

и

получаем

Для сокращения штрихами обозначим производные от X по величине Тогда будем иметь

Кроме того, уравнение (170) перепишется так: При этих обозначениях выражение (d) перепишется таким образом:

или после сокращений

При всяком способе закрепления мы будем иметь для концов Следовательно,

Таким образом, можно найти значение интеграла (е) при любом способе закрепления концов. Если правый конец стержня совершенно свободен, то

н тогда

При заделанном правом конце

Наконец, при опертом конце, когда

будем иметь

Для вычисления интеграла

который нам понадобится при составлении выражения для потенциальной энергии (173), воспользуемся уравнением (170). Умножая обе части этого уравнения на X и интегрируя по всей длине стержня, получаем

Правая часть равенства может быть преобразована путем интегрирования по частям. Тогда прийдем к такому результату:

Следовательно, при составлении выражения для потенциальной энергии нам не придется вычислять новые интегралы, можно воспользоваться найденными выше [формула (175)] значениями интеграла (с).

Имея выражения для без затруднений можно исследовать как свободные, так и вынужденные колебания стержня. Некоторые примеры будут приведены в следующих параграфах. Здесь остановимся подробнее на дифференциальном уравнении движения (168) и внесем в него поправки, оценивающие влияние конечности поперечных размеров стержня на частоту собственных колебаний. Поправки эти, как мы видим, могут иметь существенное значение при изучении высших типов колебаний, когда вибрирующий стержень узловыми сечениями подразделяется на большое число полуволн сравнительно малой длины.

В качестве первой поправки учтем влияние поворота поперечных сечений стержня при колебаниях изгиба. При составлении уравнения (168) мы приняли во внимание лишь силы инерции, соответствующие поступательному движению элементов стержня в направлении оси у. Однако это движение сопровождается искривлением оси стержня, а следовательно, и поворотом поперечных сечений относительно соответствующих им нейтральных линий. Угол поворота для каждого сечения определяется соответствующим значением производной При поперечных колебаниях стержня этот угол все время изменяется. Значения угловой скорости вращения и углового ускорения представятся производными

Если выделить двумя бесконечно близкими поперечными сечениями элемент стержня длиной то силы инерции, соответствующие вращению этого элемента, дадут момент, равный

При составлении дифференциального уравнения для изогнутой оси стержня нужно принять во внимание не только непрерывно распределенную нагрузку, соответствующую силам инерции поступательного движения, но и непрерывно распределенные моменты, определяемые формулой (е). В таком случае изменение изгибающего момента вдоль оси стержня представится так:

Здесь поперечная сила, получающаяся от сил инерции поступательного движения элементов стержня.

Подставляя найденное значение производной в дифференциальное уравнение

получаем

Второй член в правой части уравнения представляет собой поправку, обусловленную поворотом поперечных сечений при колебаниях.

Более точное уравнение получим, если примем во внимание не только влияние сил инерции, соответствующих повороту сечений, но также и влияние касательных напряжений на прогиб стержня.

Выделим из стержня двумя бесконечно близкими сечениями элемент длиной и составим для него уравнения движения. Положение выделенного элемента определится перемещением у его центра тяжести и углом поворота относительно нейтральной линии

Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотам поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к изогнутой оси стержня не будет равняться углу поворота сечения. Разность между этими углами будет, очевидно, равняться относительному сдвигу, который обозначим через (5.

Рис. 76.

Таким образом, получаем зависимость

Кроме того, для изгибающего момента и для перерезывающей силы будем иметь выражения

где k — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения. Принимая во внимание приложенные к выделенному элементу силы (рис. 76), напишем уравнение движения, соответствующее вращению элемента, в таком виде:

или, вставляя вместо их значения

Уравнение движения, соответствующее перемещению элемента в направлении оси запишем так:

или

Исключая из и (1) величину приходим к такому уравнению для поперечных колебаний стержня:

Сравнивая (177) и (178), устанавливаем те члены, которыми определяется поправка на касательные напряжения. Ниже на примере покажем, как сказывается эта поправка на частоте различных типов собственных колебаний.