§ 42. Колебания стержней переменного сечения

В случае призматических стержней исследование колебаний не встречает каких-либо затруднений, так как разыскание нормальных функций приводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения (170) с постоянными коэффициентами. Задача становится более сложной, если сечения стержня изменяются по длине. В таком случае для определения собственных колебаний стержня нужно обратиться к решению уравнения (167)

в котором будут заданными функциями от х.

Полагая, как это мы делали в случае призматических стержней, мы получим для нормальных функций такое дифференциальное уравнение:

Лишь при некоторых частных заданиях относительно удается найти интеграл этого уравнения в замкнутой форме 2. В других случаях приходится искать решение уравнения (187) в форме бесконечных рядов или пользоваться

приближенными методами решений, например графическим методом или вычислительным методом К. Рунге.

Если отклонения стержня от призматической формы малы, то для вычисления частоты собственных колебаний с успехом может быть применен приближенный метод Рэлея, которым мы не раз пользовались в элементарном курсе сопротивления материалов. Сущность этого приема заключается в том, что при малом отличии формы стержня от призматической можно принять тип колебаний его таким же, как и для призматического стержня. Задавшись типом колебаний, мы тем самым обращаем нашу систему в систему с одной степенью свободы, и так как выражения для могут быть составлены без всяких затруднений, то частота, соответствующая выбранному тану колебаний, легко находится. Оказывается, что даже грубые предположения относительно формы искривления колеблющегося стержня дают вполне удовлетворительные результаты при определении частоты колебаний. Возьмем, например, призматический брусок одним заделанным и другим свободным кондом (рис. 79). Для этого случая имеется точное решение (см. § 39). Найдем теперь частоту основного типа колебаний приближенным методом Рэлея. В качестве формы искривления, соответствующей этому типу колебаний, возьмем кривую изгиба стержня под действием собственного веса. Тогда где прогиб стержня на свободном конце

Рис. 79.

Для получаем выражения

Уравнение движения (146) напишется так:

откуда для частоты основного типа колебаний получаем

где а имеет прежнее значение (169).

Точное решение для этого случая дает нам

погрешность приближенного решения около 0,5%.

Если взять форму искривления, соответствующую изгибу стержня силой, приложенной на конце, то, поступая, как и в предыдущем случае, мы получим частоту с погрешностью 1,5%.

Увеличение погрешности объясняется тем, что эта кривая изгиба не удовлетворяет условию на свободном конце колеблющегося стержня.

Пользуясь тем же приемом, легко оценить влияние добавочного груза, прикрепленного в каком-либо сечении стержня, на частоту колебаний.

Предположим, что к свободному концу стержня прикреплен груз Сохраняя прежний тип колебаний, мы должны оставить без изменений выражение для потенциальной энергии. Значение живой силы изменится и придется к прежнему выражению присоединить живую силу добавленного груза . Соответственно этому уравнение (с) заменится таким:

и для частоты основного типа получим выражение

где через обозначен вес стержня.

При весьма малом значении полученная формула дает с большой точностью, но и в другом крайнем случае, когда весьма велико по сравнению с точность нашей формулы оказывается вполне удовлетворительной. В самом деле, полагая в уравнении (d) величину равной нулю, найдем для частоты такой результат:

точное решение на основании известного правила для систем с одной степенью свободы (§ 33) напишется так:

Погрешность приближенной формулы в этом крайнем случае несколько больше 3%.

Совершенно таким же способом, как мы сейчас учли влияние добавочного груза, может быть оценено влияние на частоту местного ослабления сечения стержня. Легко показать, что ослабление сечения у свободного конца стержня, уменьшая главным образом кинетическую энергию системы, повлечет за собой увеличение частоты колебаний. Противоположное влияние окажет ослабление у заделанного конца. Заметим здесь, что, применяя приближенный метод, мы всегда будем допускать погрешность в сторону преувеличения частоты колебаний. Навязывая стержню определенную форму искривления, мы тем самым как бы идем в направлении увеличения жесткости системы,

В тех случаях, когда форма стержня значительно отличается от призматической, точность приближенного метода Рэлея может оказаться недостаточной, в особенности при исследовании высших типов колебений. Здесь уместно воспользоваться методом Ритца, который мы уже применяли при исследовании изгиба стержней переменного сечения, лежащих на упругом основании (см. § 7).

Применяя метод Ритца, мы интегрирование дифференциального уравнения заменим разысканием условий для максимума или минимума некоторого интеграла. Для составления этого интеграла воспользуемся началом возможных

перемещений. Применяя его к силам инерции колеблющегося стержня и приравнивая работу сил инерции на всяком возможном перемещении соответствующему приращению потенциальной энергии, получаем

Подставляя вместо V его выражение через у и считая, что при колебаниях у изменяется пропорционально приходим к такому результату:

Следовательно, искомая частота колебаний и соответствующая форма искривления найдутся из условия максимума или минимума интеграла

при заданных условиях на концах.

Разыскание максимума или минимума интеграла (f) по правилам вариационного исчисления привело бы нас к уравнению (187). Мы поступим иначе и задачу вариационного исчисления заменим разысканием простого максимума или минимума. Для этого мы возьмем приближенное выражение для у в виде ряда

Рис. 80.

Функции подберем таким образом, чтобы они удовлетворяли условиям на концах стержня. Коэффициенты играют при этом роль координат. Беря ряд членами, мы обращаем наш стержень в систему с степенями свободы. Для надлежащего выбора значений используем условие Вставляя в него вместо у его приближенное выражение подберем так, чтобы были соблюдены условия

Эта система уравнений даст нам возможность найти соотношение между коэффициентами и частоту колебаний. Ограничиваясь первым членом ряда (g), мы получаем первое приближение для частоты колебаний; оно будет соответствовать приближенному решению Рэлея. Присоединяя последующие члены ряда (g), мы будем получать дальнейшие приближения. По разности между двумя последовательными приближениями можно составить себе некоторое представление о степени точности получаемых результатов.

Ход вычислений выясним на частном примере. Найдем частоту основного типа колебаний для клина, имеющего постоянную толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка (рис. 80). Для этого случая имеется точное решение Оно дает для частоты основного тона значение

где ширина клина в плоскости заделки.

Применим теперь метод Ритца. Для упрощения выкладок преобразуем предварительно условие (е) введением новой переменной положив В таком случае

Установим теперь для у условия на концах стержня. На левом, свободном, конце момент и перерезывающая сила обратятся в нуль в силу равенства нулю площади поперечного сечения. Что касается правого, заделанного, конца, то для него имеем

Ряд может быть в данном случае взят в таком виде:

Легко проверить, что при выражения для у и его производной обращаются в нуль.

Чтобы получить первое приближение, ограничимся первым членом ряда тогда

Подставляя в выражение (f) и выполняя указанное интегрирование, получаем

Из уравнения находим

Из сравнения с точным решением заключаем, что погрешность первого приближения составляет около 3%. Для получения второго приближения положим

тогда

Подставляя это выражение в и выполняя интегрирование, находим

Условия минимума для приводят нас к уравнениям

откуда получаем

Эта система уравнений может дать для и решения, отличные от нуля, лишь в том случае, если ее определитель обращается в нуль, т. е. при условии

Отсюда получаем для два значения. Меньший корень, соответствующий основному типу колебаний, даст нам

Следовательно, второе приближение уже обеспечивает весьма большую точность для частоты основного типа колебаний. Частота второго типа колебаний, соответствующего большему корню уравнения (1), будет определена с меньшей точностью. Для повышения точности и для исследования высших типов колебаний приходится увеличивать число членов ряда Соответственно этому возрастает число уравнений в системе (h) и повышается степень соответствующего определителя.

Таким образом, исследование собственных колебаний и вычисление соответствующих периодов не встречают принципиальных затруднений. Задача сводится к вычислению ряда интегралов и к определению корней того уравнения, которое получается путем приравнивания нулю определителя системы уравнений

Большое удобство способа Ритца заключается в том, что применение его не требует, чтобы изменение сечения стержня и его нагрузки по всей длине задавалось одной какой-либо функцией. На отдельных участках закон изменения поперечных сечений и нагрузок может быть различен, и функции, представляющие эти изменения, в некоторых сечениях стержня могут претерпевать разрывы. Это обстоятельство позволяет применять способ Ритца к исследованию колебаний таких сложных систем, как, например, корпуса судов.

При вычислении частоты основного типа колебаний будем рассматривать корпус судна как стержень со свободными концами. Предположим, что изменения интенсивности нагрузки и моментов инерции поперечных сечений могут быть представлены с достаточной точностью плавными кривыми. Приведем вычисления для того случая, когда эти кривые — параболы, симметрично расположенные относительно середины стержня. Располагая начало координат по середине и обозначая длину стержня через , будем иметь

Для функций входящих в выражение (g), возьмем значения

где определяется из условия 2

Легко проверить, что выбранные таким образомфункции удовлетворяют условиям

на свободных концах стержня.

Введя для краткости обозначения

найдем, что уравнения (h) получают такой вид:

Ограничимся при вычислениях первыми двумя членами ряда Первые два корня уравнения имеют значения Соответственно этому будем иметь

Первому члену ряда будет соответствовать перемещение стержня, не сопровождающееся изгибом Второму члену соответствует изгиб по кривой, получающейся при основном колебаний призматического стержня со свободными концами. Полагая

на основании найдем

Уравнения напишутся в данном случае так:

Приравнивая нулю определитель этих уравнений и принимая во внимание, что получаем для определения X такое уравнение:

Первому корню этого уравнения соответствует перемещение стержня без изгиба. Второй корень

определяет частоту основного типа колебаний нашего стержня. На основании принятых обозначений получаем

Применим эту формулу к такому численному примеру:

Соответствующее водоизмещение судна будет

По этим данным находим нужные нам коэффициенты: а

В таком случае Полагая находим

Число собственных колебаний судна в минуту будет

Тот вид функций которым мы здесь воспользовались, может быть применен и при других видах кривой нагрузки и кривой изменения моментов инерции, а также в тех случаях, когда эти кривые заданы не уравнениями, а значениями ряда ординат.

Задача сводится в каждом частном случае к вычислению коэффициентов и что всегда может быть выполнено с достаточной для практики точностью.