§ 41. Влияние круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках

Предположим, что пластинка больших размеров находится в состоянии однородного напряженного состояния под действием сил, приложенных по контуру и лежащих в срединной плоскости пластинки. Пусть оси х и у соответствуют направлениям главных напряжений (рис. 34). Тогда по какой-либо площадке перпендикулярной к плоскости ху и наклоненной к оси х на угол нормальные и касательные напряжения будут иметь значения

Если мы в начале координат вырежем в пластинке круглое отверстие малого радиуса то распределение напряжений в пластинке должно измениться, так как по площадкам, совпадающим с контуром отверстия, напряжения должны равняться нулю. Однако значительного изменения напряжений можно ожидать лишь вблизи отверстия, так как вырезывание отверстия равносильно присоединению системы взаимно уравновешивающих усилий, равных и прямо противоположных тем усилиям, которые действуют в цельной пластинке по площадкам, совпадающим с контуром отверстия. В точках, расстояние которых от отверстия велико по сравнению с такая система сил согласно принципу Сен-Венана может вызвать лишь малые изменения напряжений.

Рис. 34.

Представим себе вырезанный из пластинки диск большого радиуса Если по контуру этого диска приложим напряжения, определяемые формулами (а), то распределение напряжений у контура отверстия будет, на основании вышесказанного, приблизительно такое же, как и в случае пластинки неограниченных размеров. Таким образом, вопрос о влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в неограниченной пластинке сводится к отысканию напряжений в круговом кольце, наружный радиус которого равен а внутренний — радиусу отверстия Причем -малая величина.

Для упрощения в дальнейшем введем обозначения Тогда формулы (а), представляющие распределение усилий по наружному контуру кольца, напишутся так:

На внутреннем контуре будем иметь

Следовательно, вырезанное из пластинки кольцо подвергается действию равномерно распределенного по наружному контуру растягивающего усилия кроме того, сжимающему и касательному усилиям, изменяющимся по закону

Напряжения, соответствующие равномерному растяжению определяются известной формуле Ламе

Что касается напряжений, обусловленных усилиями (с), то соответствующая им функция напряжений на основании общего решения (69) представится в таком виде: Определяемые этой

функцией напряжения получат следующее выражение:

Произвольные постоянные в этих выражениях должны быть выбраны так, чтобы на наружном контуре были удовлетворены условия (с); на внутреннем контуре напряжения должны обращаться в нуль. Для определения получаем четыре уравнения:

Отсюда, полагая находим

Вставляя это в выражения (е) и присоединяя к ним напряжения (d), получаем для напряжений у круглого отверстия такие формулы:

В случае простого растяжения в направлении оси у имеем и формулы (70) перепишутся таким образом:

Пользуясь этими формулами, можно получить распределение напряжений в растянутой полосе, ослабленной круглым отверстием (рис. 35), если только радиус отверстия мал по сравнению с шириной полосы. При ширине полосы, равной четырем диаметрам отверстия, погрешность формул (71) не превосходит 6%. Наибольшие растягивающие напряжения в такой полосе получаются у краев отверстия в точках соответствующих концам горизонтального диаметра отверстия. Здесь и формулы (71) дадут

Местные напряжения в три раза превосходят среднее значение растягивающих напряжений в полосе. Распределение растягивающих напряжений по плоскости поперечного сечения представлено на рисунке заштрихованной площадью. Легко убедиться на основании формул (71), что в точках соответствующих концам вертикального диаметра отверстия, имеют место сжимающие напряжения численно равные растягивающим напряжениям Полученные результаты с достаточной точностью подтверждаются опытами.

Рис. 35.

Если положить то мы получим в пластинке напряжение, соответствующее чистому сдвигу. Наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения получаются у краев отверстия. Их величины, как легко видеть из формул (70), соответственно равны

Места наибольших напряжений совпадают с концами диаметров отверстия, наклоненных под углом 45° к направлению сдвига. Еще большие местные напряжения получаются в растягиваемой полосе, если она ослаблена не круглым, а продолговатым отверстием, вытянутым в направлении, перпендикулярном к растяжению. Например, в случае эллиптического отверстия с большой полуосью а и малой полуосью краев отверстия в точках, соответствующих концам большой оси, перпендикулярной к растяжению, получаются такие напряжения: где среднее значение растягивающих напряжений по ослабленному сечению полосы. Увеличивая отношение мы можем получить сколь угодно большие местные напряжения.

Теоретически разобран еще случай Лемнискатного отверстия 3. Случай отверстия, форма которого подходит к форме поперечного сечения железнодорожного туннеля, экспериментально изучен А. Леоном.

Сделанные выше заключения относительно распределения напряжений у краев отверстия будут справедливы лишь до тех пор, пока материал следует закону Гука. Как только в перенапряженных местах материал выходит за предел упругости и появляются остаточные деформации, распределение напряжений перестает следовать найденному выше закону. Если растягивать полосу, изготовленную из материала, способного получать значительные пластические удлинения, например из мягкого железа, то в этом случае с переходом растяжения за предел упругости распределение напряжений по сечению, проходящему через центр отверстия, приближается постепенно к равномерному и разрыв ослабленной полосы обыкновенно происходит при большем среднем напряжении, чем в случае полосы цельной. Результат этот объясняется тем

обстоятельством, что резкое уменьшение площади поперечного сечения полосы у отверстия затрудняет образование шейки. В случае хрупких материалов, не способных выдерживать значительные деформации, момент перехода за предел упругости близок к моменту разрушения, и потому влияние местных перенапряжений должно сильно понизить временное сопротивление ослабленной полосы. Это хорошо подтверждается на опытах со стеклянными образцами.

Еще большее влияние на прочность полосы оказывает ослабление ее отверстием в том случае, когда приходится иметь дело с переменными усилиями. Благодаря усталости материала в перенапряженных местах могут возникнуть при этих условиях трещинки, которые при дальнейшем развитии приведут к разрушению образца при напряжениях, среднее значение которых меньше предела упругости материала 1.