§ 7. Балка переменного сечения, лежащая на сплошном упругом основании

В предыдущих задачах мы всегда предполагали сечение балки постоянным по длине. В технических вопросах иногда приходится иметь дело с более сложным случаем, когда сечение балки, лежащей на сплошном упругом основании, переменное. Такую задачу мы будем иметь, например, при определении напряжений, возникающих в корпусе судна, при постановке его в при расчете цилиндрических резервуаров, стенки которых имеют переменную толщину, при расчете фундаментных плит переменной толщины и т. д. Мы уже условились для балки переменного сечения сохранять в силе допущение Бернулли — Эйлера и потому при вычислении прогибов будем и в этом случае исходить из уравнения

Последовательным дифференцированием находим

Здесь величины и к имеют прежние значения (см. § 2). Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (23) четвертого порядка с переменными коэффициентами. Условия на концах балки представляются различно в зависимости от способа аакрепления. Для опертого конца будем иметь условия

Для заделанного конца условия напишутся так: На свободном конце будем иметь

Лишь в некоторых частных случаях удается получить решение уравнения (23) в замкнутой форме. Обычно же приходится представлять интеграл этого уравнения бесконечными рядами или пользоваться для решения приближенными способами.

Различные приемы решения выясним на отдельных примерах.

В качестве первого примера рассмотрим изгиб балки со свободным концом А и заделанным концом В, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой сплошной нагрузкой, изменяющейся по закону треугольника (рис. 10).

Рис. 10.

Поперечное сечение балки — прямоугольник постоянной ширины, которую мы примем равной единице. Высота прямоугольного сечения изменяется по линейному закону и определяется формулой Жесткость основания также предположим изменяющейся по линейному закону и примема

Положив в уравнении введя для сокращения записи обозначения представим его в таком виде:

Условия на концах представятся так:

Общий интеграл уравнения (23) будем искать в форме бесконечного ряда Вставляя это выражение в уравнение (23), мы путем сравнения коэффициентов устанавливаем такие соотношения:

Следовательно, искомое решение представится так:

Полученный результат не представляет собой полного интеграла уравнения (23), но в рассматриваемом случае условия на левом конце балки выполняются, так как момент инерции сечения при равен нулю, и нам остается удовлетворить лишь условиям на правом конце, что мы можем всегда сделать надлежащим выбором постоянных

Полагая для краткости

получаем из условий на правом конце такие уравнениям

Отсюда

Здесь

Таким путем мы получаем полное решение поставленной задачи. Все обстоятельства изгиба вполне определяются величинами

Если бы на левом конце балки момент инерции поперечного сечения не обращался в нуль, то нам для решения задачи пришлось бы обратиться к полному интегралу уравнения (23) с четырьмя произвольными постоянными и все исследование получилось бы более сложным

Покажем теперь другой прием решения той же задачи, основанный на применении начала возможных перемещений.

Если мы через V обозначим потенциальную энергию, накопляемую при изгибе в балке и в упруго оседающем основании, а через ту работу, которую совершает изгибающая балку нагрузка на перемещениях, соответствующих изгибу, то из начала возможных перемещений получим

т. е. приращение заключенной в скобки функции на всяком возможном отклонении от положения равновесия должно равняться нулю. В нашем случае потенциальная энергия системы составится из двух слагаемых и может быть представлена таким образом:

Для работы внешних сил получаем выражение

Принимая во внимание обозначения представляем выражение (а) в таком виде:

Следовательно, определение изогнутой формы балки сводится к разысканию такого выражения для прогибов у, при котором интеграл

приобретает максимальное или минимальное значение. Если бы мы приравняли нулю первую вариацию этого интеграла, то пришли бы к уравнению (23). Мы можем обойти решение этого уравнения, если воспользуемся для определения функции у методом В. Ритца. Представим приближенное выражение искомой функции в виде ряда

где суть функции выбранные таким образом, что каждая из них удовлетворяет на концах балки тем же условиям, которым подчинена функция у. Что касается коэффициентов то их мы подберем таким образом, чтобы интеграл после подстановки в него вместо у выражения имел максимальное или минимальное значение, т. е. чтобы были удовлетворены условия

В данном случае мы получим систему линейных уравнений, из которой однозначно определим все коэффициенты Функции в рассматриваемом случае выгодно взять в виде целых полиномов. Если мы ограничимся тремя членами ряда (b), то можем положить При этом условия закрепления правого конца будут удовлетворены, так как взятые нами функции и их первые производные обращаются в нуль при На левом конце условия удовлетворяются вследствие равенства нулю момента инерции поперечного сечения балки при Вставляя вместо у в выражение интеграла и составляя уравнения (с), приходим к такой системе

Решение этих уравнений приводит нас к таким результатам:

Чтобы судить о том, насколько быстро мы приближаемся к точному решению по мере увеличения числа коэффициентов приведем результаты, которые получаются, если ограничиться лишь двумя членами в выражении для у. Значение коэффициентов при этом получается следующее:

Особенно хорошие совпадения получаются при больших значениях у.

Сравнение результатов приближенного решения с тем, которое получается на основании решения (24), показывает, что при погрешности в прогибах меньше 1%, погрешность в величине наибольшего изгибающего момента меньше 2%. Такая точность является, конечно, вполне достаточной для практических приложений.

Если момент инерции поперечного сечения балки не обращается в нуль на левом конце балки, функции в разложении (b) приходится подчинить тем же условиям, которым должна удовлетворить функция у на левом конце, т. е. нужно удовлетворить уравнениям

Выбирая эти функции, как и раньше, в виде целых полиномов и ограничиваясь тремя членами разложения, можно положить

Это выражение дает возможность получить с достаточной для практики точностью как величину прогиба, так и величину наибольшего изгибающего момента для балок прямоугольного сечения, высота которого изменяется по закону трапеции или по параболическому закону, т. е. когда или

Указанный здесь прием исследования изгиба может быть с успехом применен и при других способах закрепления концов балки, а также при других законах изменения поперечного сечения. Так, например, этот метод не требует, чтобы закон изменения вдоль оси балки представлялся одной какой-либо функцией. Весь пролет балки может распадаться на несколько участков, причем изменение сечения вдоль каждого участка может представляться особой функцией. Дальше мы увидим, что в целом ряде задач, относящихся к исследованию изгиба стержней и пластинок, применение метода Ритца дает прекрасные результаты и обеспечивает достаточную для практики точность при сравнительно небольшой вычислительной работе.

Возвращаясь к нашей задаче об изгибе балки переменного сечения, лежащей на сплошном упругом основании, отметим здесь еще возможность решения ее путем приближенного, вычислительного способа интегрирования уравнения (23). При этом пролет балки подразделяется на ряд участков, и величины прогиба у и его производных вычисляются последовательно для каждого участка, начиная с одного какого-либо конца балки, для которого величина у и ее последовательные производные известны или принимаются равными некоторым величинам, определяемым из условий на концах балки по окончании

всей вычислительной работы. При этих вычислениях весьма выгодно пользоваться приближенным способом К. Рунге х.

Наконец, следует еще отметить графический способ решения задачи, основанный на совпадении упругой линии с некоторой веревочной кривой. Этот прием выгодно употреблять, когда есть возможность заранее наметить подходящий вид изогнутой оси балки 2.