§ 70. Деформации цилиндрической оболочки, не сопровождающиеся растяжениями срединной поверхности

При изучении деформации круглого кольца (§ 17, 18) мы уже пользовались теми упрощениями, которые получаются, если ось кольца считать абсолютно нерастяжимой. При таком допущении перемещения точек оси кольца можно представить в форме тригонометрических рядов, коэффициенты которых определяются путем применения начала возможных перемещений. Решения эти, конечно, могут быть использованы при исследовании плоской деформации цилиндрической оболочки, когда все сводится к расчету элементарного кольца. Но допущение нерастяжимости срединной поверхности может привести к удовлетворительному решению и в ряде других случаев, когда по распределению нагрузок можно ожидать, что перемещения точек срединной поверхности оболочки обусловлены главным образом искривлением оболочки, а не растяжениями ее срединной поверхности.

Рис. 136.

Рассмотрим, какие дополнительные ограничения будут налагаться на искомые перемещения, если мы действительную оболочку заменим гипотетической моделью, обладающей свойством нерастяжимости.

Перемещения точек срединной поверхности условимся разлагать на составляющие , которые имеют в каждой точке недеформированной поверхности направления координатных осей (рис. 136), построенных так, что ось имеет направление главной нормали, ось направлена по касательной к параллельному кругу в сторону возрастания угла наконец, ось совпадает с образующей цилиндра так, что представляет собой правовинтовую систему.

Условие нерастяжимости оболочки в направлении оси напишется так:

Для растяжений в направлении оси воспользуемся выражением, которое мы получили [см. формулу (b) § 18] при рассмотрении кольца, и условия нерастяжимости в этом направлении напишем так:

Наконец, условие отсутствия сдвигов в срединной поверхности напишется таким образом:

Мы удовлетворим написанным уловиям нерастяжимости, если возьмем для перемещений те же выражения, которыми мы пользовались в случае кольца. Выражения эти могут быть написаны в такой форме:

Здесь постоянные величины, которые приходится определять при каждом частном задании относительно действующих сил.

К перемещениям (d), соответствующим плоской деформации цилиндрической трубки, мы можем присоединить еще такие выражения:

тоже удовлетворяющие условиям (а), (b) и (с) нерастяжимости срединной поверхности. Здесь являются линейными функциями х, следовательно прямолинейные образующие цилиндрической оболочки остаются прямыми, но при этом несколько наклоняются к своему первоначальному направлению и, кроме того, совершают перемещение в направлении оси цилиндра. Общие выражения для перемещений при деформации оболочки без растяжения получим наложением решений Тогда эти перемещения представятся так:

Составим теперь выражение (260) для потенциальной энергии искривленной оболочки. Чтобы получить значения величин входящих в это выражение, воспользуемся приемом, который мы применяли при исследовании изгиба кольца силами, не лежащими в плоскости кривизны (см. § 19).

Кроме подвижной координатной системы построенной для каждой точки недеформированной срединной поверхности, представим себе еще подвижную систему (х, у, z), построенную в каждой точке срединной поверхности после деформации. При этом ось z направлена по нормали к искривленной поверхности, ось х совпадает с направлением, по которому располагается соответствующая образующая цилиндра после деформации и, наконец, ось у перпендикулярна к плоскости Если начало координат системы (х, у, z) будет перемещаться по деформированной срединной поверхности оболочки в направлении оси у с постоянной скоростью, равной единице, и при этом в каждый момент оси (х, у, z) будут занимать указанные выше направления, то угловые скорости вращения системы (х, у, z) дадут нам возможность вычислить изменение кривизны и кручение

В рассматриваемом случае образующие цилиндра остались после деформации прямыми и соответствующее изменение кривизны равно нулю. Для определения можем воспользоваться второй строчкой формулы (98).

Изменяя буквы соответственно принятым здесь обозначениям, получаем

или на основании условия нерастяжимости

Наконец, для получения можно воспользоваться третьей строчкой формулы (98). В ней нужно вместо угла поставить величину вместо

величину и потом изменить знак при Тогда получим

или на основании (с)

Вставляя найденные значения для в формулу (260), мы, пользуясь выражениями для перемещений, придем к такому значению для потенциальной энергии цилиндра, имеющего длину :

Рассматривая коэффициенты В как координаты системы и применяя начало возможных перемещений, можем в каждом частном случае найти соответствующие значения для Возьмем такой пример (рис. 137). Цилиндр сжимается двумя равными и прямо противоположными слами действующими по одному из диаметров

Рис. 137.

Так как силы имеют радиальное направление, то при составлении уравнений равновесия нам придется иметь дело лишь с перемещениями Угол 6 будем отсчитывать от вертикального диаметра, по которому действуют силы . В таком случае силы будут совершать работу, отличную от нуля лишь на перемещениях, соответствующих приращениям координат Пользуясь выражениями получаем такие уравнения:

Подставляя вместо V его выражение (265), получаем

При нечетном будем иметь

Коэффициенты как было выяснено выше, равны нулю. Для получения выражений для перемещений нужно только в формулы подставить найденные значения коэффициентов. Тогда получим быстросходящиеся ряды, при помощи которых может быть найдено перемещение любой точки оболочки. Формулы дают возможность найти изгибающие и скручивающие моменты и соответствующие им напряжения. Заметим, что получаемые таким

образом решения не удовлетворяют условиям по краям цилиндрической трубки. Для осуществления принятых нами перемещений (d) и (е) необходимо приложить по краям моменты и силы, выражения для которых могут быть составлены на основании общих формул. Напряжения и деформации, соответствующие этим силам, имеют характер местных напряжений и деформаций. Они быстро затухают по мере удаления от концов трубки и потому не оказывают существенного влияния на результаты, полученные в предположении отсутствия растяжений срединной поверхности оболочки

Рис. 138.

Считая срединную поверхность нерастяжимой, мы можем получить решение и для части цилиндрической оболочки, вырезанной из цилиндра двумя меридиональными сечениями (рис. 138). Если возьмем, например, перемещения

то получим случай, когда по образующим цилиндрической оболочки нет перемещений и нет изгибающих моментов.