§ 71. Дифференциальные уравнения равновесия для общего случая деформации цилиндрической оболочки

Нужные нам дифференциальные уравнения мы получим, как и при исследовании изгиба пластинок, если напишем условия равновесия для сил, приложенных к одному элементу, вырезанному из оболочки двумя бесконечно близкими меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к оси цилиндра. На рис. 139 представлена соответствующая этому элементу часть срединной поверхности после деформации оболочки и указаны направления усилий принятые нами [см. формулы (253, 255)] за положительные. Усилия эти имеют направления соответствующих координатных осей подвижной системы х, у, z и потому при составлении уравнений равновесия нужно считаться с теми углами, на которые поворачивается эта система при переходе от одной стороны выделенного четырехугольника к стороне, ей прямо противоположной. Так как эти углы зависят главным образом от искривления оболочки, то растяжениями

Рис. 139.

срединной поверхности при составлении уравнений равновесия будем пренебрегать и будем пользоваться условиями нерастяжимости (а), (b) и (с) предыдущего параграфа.

Напишем сначала три уравнения равновесия элемента получающиеся путем проектирования всех приложенных к элементу сил на направление осей построенных для точки О. Составим проекцию всех сил на ось Если бы мы пренебрегали искривлением элемента и соответствующими поворотами подвижных осей х, у, z, то при проектировании получили бы, как и в случае пластинок, уравнение

Напишем теперь выражения для углов поворота системы и воспользуемся этими углами для составления уравнений равновесия элемента в полном виде, где уже будет учтено искривление срединной поверхности оболочки. Возьмем сначала стороны и нашего элемента. Углы поворота подвижной системы при переходе от одной стороны к другой относительно осей х, у и z обозначим соответственно через

Вращение стороны нашего четырехугольника относительно оси X будет происходить вследствие перемещений Так как эти перемещения малы, то мы при составлении углов поворота можем отдельно рассмотреть поворот от каждого из этих перемещений и потом найденные углы сложить.

Перемещениям соответствует движение отрезков и по параллельным кругам цилиндра. Если перемещение отрезка то соответствующий поворот его относительно оси х при деформации оболочки будет равен Для отрезка тот же поворот напишется так:

и нужный нам относительный поворот этих двух отрезков будет равняться

Вследствие перемещений отрезок поворачивается относительно оси у на угол, равный Соответственно для отрезка такой же поворот представится выражением Суммируя полученные углы поворота, находим

Составим теперь угол поворота системы осей х, у, z относительно оси Этот поворот получается вследствие искривления образующих цилиндра в плоскости меридиана, и так как ось касательна к этой искривленной образующей, то для искомого угла можем написать сразу

Точно так же поворот системы относительно оси обусловлен искривлением образующей цилиндра в плоскости, касательной к срединной поверхности, и потому можно написать сразу

Обратимся теперь к углам поворота, соответствующим переходу от стороны к стороне нашего четырехугольника. При составлении этих углов проще всего воспользоваться формулами (98), полученными при исследовании общего случая изгиба кольца.

Производя надлежащее изменение букв, получаем из второй строчки формулы (98) для угла поворота относительно оси X

или на основании условия нерастяжимости (b) предыдущего параграфа

Для угла поворота относительно оси после надлежащей замены букв в третьей строчке формулы (98) получаем

Пользуясь условием нерастяжимости (с) предыдущего параграфа, представим этот угол поворота так:

Наконец, для угла поворота относительно оси на основании первой строчки формулы (98) будем иметь

или на основании условия нерастяжимости (с) предыдущего параграфа получаем

Имея формулы для углов поворота, легко составляем нужные нам уравнения равновесия выделенного элемента. Проектирование всех сил на ось X приведет нас к такому уравнению:

Подобным же образом для осей получаем

После некоторых сокращений получаем такую систему уравнений:

Рис. 140.

Обратимся теперь к уравнениям моментов. Направления моментов, принятые за положительные при составлении формул (254) и (256), отмечены на рис. 140. Если их представить векторами, то в правовинтовой системе векторы совпадут с направлениями Для вектора направление будет прямо противоположно Пользуясь этим, мы на основании (266) сразу можем написать такие уравнения:

Усилия и 52 и моменты могут быть выражены при помощи формул (253) — (258), через деформации срединной поверхности и через величины все эти величины выражаются через перемещения так 1 (см. § 70):

Таким образом, из уравнений (266) и первых двух уравнений (267) мы получим систему уравнений, заключающую неизвестные функции и в каждом частном случае задача сводится к решению этих уравнений.

Если усилия можно предполагать малыми по сравнению с теми критическими их значениями, при которых цилиндрическая форма равновесия оболочки перестает быть устойчивой, то в уравнениях (266) и (267) можно пропустить те члены, где эти усилия множатся на производные от малых перемещений В таком случае придем к системе уравнений

Исключая отсюда усилия получаем

Если цилиндрическая трубка подвергается действию значительных продольных усилий то члены, имеющие это усилие своим множителем, необходимо сохранить. Тогда вместо системы (268) будем иметь

В тех случаях когда трубка подвергается значительному боковому давлению и можно ожидать преобладающего влияния на изгиб усилий нужно в общих уравнениях сохранить члены, имеющие множителем Таким образом, придем к системе

Подставляя в уравнения (268), (269) и (270) вместо усилий и моментов их выражения через перемещения, придем в каждом частном случае к трем дифференциальным уравнениям, заключающим три неизвестные функции