§ 31. Решение плоской задачи при помощи целых полиномов

Определение напряжений в случае плоской задачи сводится, как было показано, к нахождению решений уравнения

удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Если контур пластинки представляет собой вытянутый прямоугольник и усилия, распределенные по длинным сторонам этого прямоугольника, могут быть представлены целыми алгебраическими функциями координат, то выгодно брать решения уравнения (а) в виде целых полиномов. Так как напряжения выражаются вторыми производными от то выбирая решение уравнения (а) в виде полинома второй степени, приходим к однородному напряженному состоянию. В случае полипома третьей степени напряжения представятся линейными функциями координат и т. д.

Рис. 14.

Рассмотрим подробнее несколько простейших решений, которыми воспользуемся в дальнейшем при определении напряжений в изгибаемых балках.

Направим ось х параллельно длинным сторонам прямоугольника (рис. 14).

Если для функции напряжений взять выражение

то составляющие напряжения будут

Так как коэффициенты совершенно произвольны, то их можно подобрать так, чтобы получить простое растяжение или сжатие в направлении оси х или оси у, а также чистый сдвиг в плоскости ху и различные комбинации этих простейших деформаций.

Возьмем функцию напряжений в виде полинома третьей степени.

Рис. 15.

Рис. 16.

Составляющие напряжения представятся формулами

Если все коэффициенты, кроме в выражении (с) положим равными нулю, то получим случай чистого изгиба полосы (рис. 15) силами, распределенными по сторонам Точно так же коэффициенту соответствует чистый изгиб усилиями, распределенными по сторонам

Если коэффициент или отличен от нуля, то кроме нормальных будем иметь также и касательные напряжения. На рис. 16 представлено распределение усилий по контуру пластинки в случае, когда отлично от нуля.

Когда мы выбирали функцию напряжений в виде полиномов второй или третьей степени, коэффициенты в этих полиномах могли быть совершенно произвольными, так как при всяких значениях коэффициентов уравнение (а) будет удовлетворено. В случае полиномов высших степеней уравнение (а) будет удовлетворено лишь при определенных соотношениях между коэффициентами. Возьмем, например, для функции напряжений выражение в виде полинома четвертой степени

Подставляя это выражение в уравнение (а), находим, что оно будет удовлетворено лишь в том случае, если

Для составляющих напряжения найдем выражения

Коэффициенты в этих выражениях совершенно произвольны. Если все их, кроме положить равными нулю, то получим

Соответствующее распределение усилий представлено на рис. 17. Возьмем теперь функцию напряжений в виде полинома пятой степенш

Вставляя это выражение в уравнение (а), найдем между коэффициентами такие зависимости:

Составляющие напряжения представятся так:

В этих выражениях мы можем коэффициенты выбирать совершенно произвольно. В дальнейшем нам понадобится случай; когда все эти коэффициенты, кроме равны нулю. При этом условии составляющие напряжения представятся формулами

Мы получаем, таким образом, распределение напряжений для прямоугольной полосы, по продольным сторонам которой приложены равномерно распределенные нормальные напряжения и касательные напряжения представляющиеся, как и в ранее рассмотренном решении (с}, линейной функцией от х (см. рис. 16).

Ограничимся пока этими простейшими решениями и применим их к исследованию изгиба балки силой, приложенной на конце, и нагрузкой, равномерно распределенной по длине.