§ 21. Задача Эйлера

В качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия, рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см. стр. 258) для определения критического значения нагрузки мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее значение при котором искривленная форма возможна. Это значение и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнение

откуда, принимая во внимание, что при и пользуясь обозначением получаем

Рис. 38.

Условие у закрепленного конца послужит нам для определения Это условие будет выполнено, если или

Следовательно, критическая нагрузка в рассматриваемом случае будет

Что касается произвольной постоянной А в уравнении (а) изогнутой оси стержня, то она остается неопределенной. Наша система при действии критической нагрузки оказывается как бы в состоянии безразличного равновесия и может занимать различные положения вблизи прямой формы равновесия. Неопределенными остаются также и те формы, которые принимает изогнутый стержень при нагрузках, превышающих критическую. Такая неопределенность является следствием того, что мы в основание наших выводов положили приближенное уравнение (104) для изогнутой оси стержня.

Если бы мы в левой части этого уравнения поставили полное выражение для кривизны, то убедились бы, что для значения меньшего определенного из

формулы (105), возможна лишь прямая форма равновесия стержня. При большем возможна кроме прямой также и искривленная форма, причем при увеличении силы искривления нарастают очень быстро. Так, например, увеличение силы на 1,5% по сравнению с критической уже вызывает прогиб, равный почти четверти длины стержня. Следовательно, приведенное выше приближенное решение дает вполне правильное значение для критической нагрузки, но не дает никаких указаний относительно искривлений бруска при нагрузках, больших критической.

Чтобы составить себе представление об этих искривленных формах, обратимся к более точному дифференциальному уравнению изогнутой оси стержня. Обозначая через угол, составляемый касательной к изогнутой оси стержня с осью х, и через длину искривленной оси, отсчитываемую от верхнего конца, напишем это уравнение в таком виде: откуда дифференцированием находим

Если в это уравнение вмеето подставить время то оно совпадет с уравнепием движения маятника.

Момент инерции соответствующего маятника относительно оси вращения будет определяться величиной и вес его — величиной Если представить себе точку, движущуюся со скоростью, равной единице, вдоль искривленной оси стержня, и допустить, что в начальный момент она находилась в точке приложения еилы то в каждом новом ее положении направление соответствующей касательной к искривленной оси определится положением качающегося маятника, если только в начальный момент он был отклонен в свое крайнее положение на угол а, равный углу наклона касательной к оси х в месте приложения силы (см. рис. 38).

При интегрировании уравнения (106) поступаем так, как с уравнением для маятника: умножаем обе части на и выполняем первое интегрирование, тогда, принимая во внимание условие на верхнем конце, получаем

откуда

Для длины дуги мы получаем выражение

Положим Тогда, принимая во внимание, что можно ввести новую переменную положив

Рис. 39.

При изменении 5 от нуля до I значение изменяется от а до нуля, следовательно, будет изменяться от до нуля. Вставляя в выражение (с) вместо новую переменпую получаем

Если положить то интеграл в формуле (107) получит значение и мы из этой формулы найдем ранее вычисленное нами значение

Для всякого конечного значения тот же интеграл будет больше и будет возрастать вместе с т. е. вместе с искривлением стержня. Этому возрастанию иптеграла будет соответствовать увеличение изгибающей силы Зависимость искривлений от силы легко установить, так как имеются готовые таблицы, в которых приведены значения нашего интеграла 1 при различных значениях При помощи этих таблиц мы легко получаем приводимые ниже отношения и соответствующие значения а — угла наклона на концевой касательной.

Последние две строки дают нам координаты основания стержня относительно осей х, уч перемещающихся при искривлении. Наконец, на рис. 39 представлен вид соответствующих кривых изгиба 2. Рассматривая эти кривые как четверть полного периода, мы путем их соединения получаем все фигуры, представленные на рис. 40.

Если представить графически зависимость между силой и прогибом верхнего конца стержня, то получим кривую изображенную на рис. 41. Кривая эта начерчена в том предположении, что все явление происходит в пределах упругости. За пределами упругости продольный изгиб протекает иначе. Если бы, например, точка С соответствовала началу появления остающихся деформаций, то при дальнейшей нагрузке зависимость между представилась бы не кривой а какой-либо кривой Наконец, если предел упругости будет достигнут при нагрузке зависимость между представится кривой вида

Рис. 40.

Рис. 41.

Рис. 42.

Решим теперь ту же задачу вторым способом, основанным на рассмотрении энергии системы. Для упрощения рассуждений удвоим длину стержня и будем считать концы его опертыми. При симметричной форме искривления (рис. 42) каждая половина стержня, очевидно, будет в таких же условиях, как и в выше разобранном случае Эйлера, и мы должны получить прежнее значение для Одной из возможных форм равновесия будет прямая форма, которой соответствует простое сжатие стержня. Чтобы выяснить, когда кроме прямой становится возможной и искривленная форма равновесия, поступим так: дадим прямой оси стержня весьма малое искривление. Тогда к потенциальной энергии сжатия, соответствующей прямой форме равновесия, присоединится еще энергия изгиба. В общем энергия деформации возрастет на некоторую величину но при этом сжимающие силы совершат работу которую мы получим, умножая на сближение 61 концов стержня при искривлении. Если при всяком отклонении то, очевидно, прямая форма — единственная возможная форма равновесия и эта форма будет устойчива.

Если удается разыскать такие искривления, для которых то прямая форма неустойчива и стержень под действием соответствующей нагрузки искривляется. Критическое значение сжимающей силы найдем из условия

Из всех возможных искривлений нужно при этом выбрать то, которому соответствует наименьшее

При опертых концах все возможные формы искривления могут быть представлены рядом

Соответствующие значения энергии изгиба и работы сжимающих сил на основании ранее найденных формул (61) и (65) представятся так:

Вставляя это в уравнение (d), получаем

Наименьшее значение для получается в том случае, если в суммах, которые вошли в выражение (f), все члены, кроме первого, положить равными нулю и принять, следовательно, искривление по кривой В таком случае

Результат этот, если принять во внимание удвоение длины стержня, совершенно совпадает с формулой (105).

В рассмотренном случае мы без затруднения нашли ту форму, которой соответствует наименьшее и получили точное выражение для Иногда этого не удается достигнуть, тогда мы, пользуясь намеченным способом, можем найти приближенное решение, взяв для вычислений какую-либо подходящую форму искривления, удовлетворяющую условиям закрепления. Задаваясь формой кривой, мы тем самым обращаем нашу систему в систему с конечным числом степеней свободы. Число степеней свободы будет определяться числом произвольных параметров, которые входят в уравнение выбранной нами искривленной формы. Вычисляя соответствующие значения и вставляя их в уравнение (d), находим выражение для Чтобы определить остается выбрать для произвольных параметров такие значения, при которых имеет наименьшую величину, представляющую, очевидно, приближенное значение для Задаваясь определенной формой кривой изгиба, мы тем самым как бы вводим дополнительные связи в нашу упругую систему. Такое увеличение числа связей может сопровождаться только увеличением жесткости системы, но никак не уменьшением ее, поэтому получаемые приближенным способом значения могут быть только больше действительных, но ни в коем случае не меньше их. Применение приближенного приема к целому ряду задач показывает, что точность решения, даже при условии пользования лишь одним произвольным параметром, обыкновенно вполне достаточна для практических приложений. Возьмем, например, только что рассмотренный случай стержня с опертыми концами. Если вместо

действительного искривления по синусоиде мы возьмем изгиб по кривой, соответствующей изогнутой оси балки с опертыми концами и нагруженной силой посередине, то найдем для энергии изгиба значение где прогиб посередине.

Для работы сжимающих сил получим

В таком случае уравнение (d) дает нам что отличается от точного решения менее чем на 1,5%.

Если бы мы в основу расчетов положили кривую изгиба балки под действием равномерной нагрузки, то получили бы Здесь погрешность всего около 0,1%.

Возможно, конечно, получить и дальнейшие приближения. Если бы мы, например, составили кривую изгиба из двух членов, т. е. основывались на системе с двумя степенями свободы, то получили бы для критической нагрузки выражение с точностью до четвертого знака