§ 28. Чистый изгиб призматических стержней

Предположим, что стержень, ось которого совпадает с осью z, изгибается парами сил, приложенными по концам и действующими в одной из главных плоскостей стержня (рис. 9). Эту плоскость примем за плоскость тогда составляющие напряжения, получаемые на основании гипотезы плоских сечений, будут следующие:

Рис. 9.

Здесь — кривизна изогнутой оси стержня (мы считаем ее положительной, когда стержень гнется выпуклостью вверх).

Покажем, что получаемое элементарным путем распределение напряжений (а) представляет точное решение задачи в том случае, если напряжения по концам стержня распределить так же, как они распределяются по любому поперечному сечению стержня. Легко видеть, что в данном случае, как и в предыдущем, дифференциальные уравнения будут удовлетворены, если нет объемных сил. Условия на поверхности приводятся к следующему:

Для призматического бруска на боковой поверхности равен нулю, следовательно, эта поверхность свободна от усилий и принятое распределение

напряжений возникает под действием усилий, распределенных по концам. Для концов стержня Следовательно, по концевым сечениям стержня действуют лишь нормальные напряжения, меняющиеся по линейному закону. Легко показать, что эти усилия приводятся к паре сил. Действительно, так как ось z совпадает с осью стержня и, следовательно, проходит через центры тяжести поперечных сечений. Момент этой пары относительно оси у будет

где момент инерции поперечного сечения относительно оси у.

Рассмотрим теперь перемещения, возникающие при чистом изгибе стерж Пользуясь выражениями (а) для напряжений, получаем следующие значения составляющих деформации:

На основании (b) заключаем, что где функция только х и у.

Из уравнений (d) находим

откуда

Здесь неизвестные пока функции х и у. На основании уравнений (с) получаем

и так как эти уравнения должны быть удовлетворены при всех значениях то, следовательно,

Воспользуемся первым из уравнений (d). Подставляя в него вместо и найденные выше выражения, получаем

откуда заключаем, что

Все условия будут удовлетворены, если положим

В таком случае для перемещений получим следующие выражения:

Шесть произвольных постоянных, которые вошли в полученные выражения для перемещений, могут быть найдены из условий закрепления. Закрепим левый конец оси стержня, тогда в точке имеем Выражения для перемещений примут такой вид:

Рис. 10.

Если возьмем какое-либо поперечное сечение стержня то после изгиба точки этого сечения будут лежатьв плоскости ( Сечения при деформации остаются плоскими.

Чтобы получить искривление оси стержня, положим в выражениях для перемещений Тогда получим Следовательно, кривую изгиба при малых прогибах можно принять за дугу круга.

Рассмотрим искажение поперечного сечения стержня. Для упрощения предположим, что сечение представляет собой прямоугольник (рис. 10), уравнения сторон которого имеют вид Если через с обозначим расстояние взятого сечения от закрепленного конца стержня, то уравнения сторон сечения после деформации напишутся так:

Вертикальные стороны прямоугольника останутся прямыми и только наклонятся к оси х, горизонтальные же стороны искривятся (см. рис. Уравнения этих кривых имеют вид

При малых деформациях можно считать, что верхнее и нижнее основания прямоугольника искривляются по дуге круга радиуса Заметим, что такое искривление имеет место лишь в том случае, если перемещения малы по сравнению с поперечными размерами стержня.