§ 11. Исследование деформации в какой-либо точке тела

При исследовании более общих случаев деформации, когда перемещения не являются линейными функциями координат, для упрощения задачи введем некоторые ограничения для перемещений. Будем рассматривать лишь те случаи, где перемещения и их производные по координатам являются малыми величинами, квадратами которых можно пренебречь. В большинстве технических задач приходится иметь дело с малыми деформациями, так как и в инженерных сооружениях, и в машинных конструкциях допускаются лишь весьма малые изменения формы. Поэтому принятое нами ограничение не имеет существенного практического значения.

Возьмем внутри тела какую-нибудь точку и весьма близкую к ней точку Пусть и, у, w будут проекции перемещения точки А при деформации тела. Тогда координаты ее после деформации определятся формулами

Что касается перемещений точки 5, то для составления их выражений воспользуемся разложением функций и, в ряды и ограничимся первыми членами этих рядов. При этом получим

Перемещения точки В относительно А выразятся формулами

Таким образом, пренебрегая малыми величинами высших порядков, мы нашли, что относительные перемещения точки В являются линейными функциями относительных координат Следовательно, в самом общем случае деформацию в пределах малого объема, заключающего рассматриваемую точку тела, можно считать однородной.

Деформация в рассматриваемой точке тела легко определяется, если известно удлинение (или сжатие) любого линейного элемента, проходящего через эту точку. Возьмем один из этих элементов весьма малой длины и определим его первоначальное направление по отношению к неподвижным координатным осям х, у, z с помощью косинусов Начальные координаты конца этого элемента по отношению к рассматриваемой точке будут После деформации эти координаты изменятся и согласно формулам (а) выражения для них примут вид

Длина взятого нами элемента изменится. Ее новое значение можно вычислить по формуле

Это выражение может быть значительно упрощено, если принять во внимание, что и их производные — малые величины, и отбросить квадраты и произведения этих величин. Тогда получим

Извлекая корень квадратный и пренебрегая малыми высших порядков, для измененной длины выделенного нами элемента получаем следующее

выражение:

Относительное удлинение в направлении будет

Таким образом, удлинение любого линейного элемента, проходящего через рассматриваемую точку, может быть определено посредством шести величин для которых в дальнейшем примем такие обозначения:

Рис. 5.

Выясним физическое значение этих величин. Положим, что линейный элемент взят в направлении оси х, тогда и на основании формулы (16) для удлинения в направлении оси х получим значение Подобным образом можно показать, что величины представляют собой относительные удлинения в направлении осей

Рассмотрим значения величин ехуч Пусть и два бесконечно малых элемента, параллельных направлениям (рис. 5). При деформации относительные перемещения точки В в направлении оси точки С в направлении оси х на основании формул (а) представятся так:

Благодаря этим перемещениям, прямой угол обратится в острый Мы будем иметь сдвиг, величина которого определяется уменьшением первоначального прямого угла Принимая во внимание малость перемещений можем положить Тогда искомыи сдвиг представится в виде

Таким же образом покажем, что величины представляют собой сдвиги, соответствующие осям Удлинение любого элемента, проведенного через рассматриваемую точку, будет

Оно определяется при посредстве шести величин которые условимся в дальнейшем называть составляющими деформации в данной точке.

В случае однородной деформации и, линейные функции координат, поэтому составляющие деформации постоянны по всему объему тела.

При деформации кроме длины изменяется также и направление каждого из линейных элементов, проходящих через рассматриваемую точку. Если через обозначим косинусы углов, которые линейный элемент составляет с координатными осями после деформации, то для определения этих косинусов получим формулы

Если взять два элемента то косинус угла между ними после деформации будет Подставив вместо их значения, определяемые по формулам (b), найдем

Если возьмем два взаимно перпендикулярных направления, то и из формулы (18) получим выражение для сдвига, соответствующего взятым направлениям