§ 8. Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и сжатия

Когда на призматический стержень по его оси действуют лишь продольные силы, то они будут вызывать в стержне растягивающие или сжимающие напря жения. Но если кроме продольных сил имеется еще и поперечная нагрузка, искривляющая ось стержня, то мы будем иметь более сложное явление, так как на изгиб стержня будут влиять не только поперечные, но и продольные силы. Эта зависимость деформаций, вызываемых продольными силами, от наличия поперечной нагрузки исключает возможность применения к продольным силам принципа сложения действия сил и тем усложняет решение поставленной задачи, имеющей весьма большое техническое значение. Рассмотрение задачи начнем с простейшего случая, представленного на рис. 11.

Рис. 11.

Исходя из основного дифференциального уравнения (2) для изогнутой оси стержня, напишем уравнения для левой и правой частей балки в таком виде:

Введя для краткости обозначение представим общие интегралы написанных уравнений так:

Из того условия, что прогибы балки на концах равны нулю, заключаем

Недостающие два уравнения для определения произвольных постоянных напишем, приняв во внимание условия равенства прогибов и углов наклона касательных для обоих участков упругой линии в точке приложения силы Таким путем получаем

откуда

Таким образом, для левой части балки получаем

Соответствующие выражения для правой части балки получаются из выражений (25) — (26), если вместо х поставить вместо с величину I — с и переменить знак перед у.

В полученные выражения поперечная сила входит линейно, что же касается продольной силы, то она входит более сложным образом, так как величина входящая под синусом и косинусом, зависит от Если мы силу увеличим в несколько раз, то во столько же раз увеличится и у. При увеличении же продольной силы, мы не будем получать пропорционального нарастания прогибов. Из вида уравнений (а) следует, что при действии на балку двух сил прогиб у, вызываемый этими двумя силами, может быть получен сложением прогиба вызванного силой и прогиба вызванного силой Сила в обоих случаях предполагается одинаковая. Следовательно, в дальнейшем мы можем складывать действия поперечных нагрузок. Для продольных же сил, как уже было сказано, принцип сложения действия сил не имеет места. Этими соображениями воспользуемся для получения при помощи результатов (25) и (26) решений в нескольких частных случаях.

Чтобы упростить вид получаемых формул, будем пользоваться таким обозначением:

Если изгибающая сила расположена посередине пролета, то прогиб под силой, на основании (25), будет

Первый множитель представляет собой прогиб балки при отсутствии продольной силы. Второй множитель, которым оценивается влияние продольной силы на прогиб, обращается в единицу при и возрастает с возрастанием и. При этот множитель обращается в бесконечность, что соответствует критическому значению сжимающей силы В самом деле, в этом случае т. е. продольная сила равняется известной эйлеровой нагрузке.

Наибольший изгибающий момент в рассматриваемом случае будет иметь место посередине пролета. На основании (26) имеем

Чтобы получить изгиб балки, сжатой силами и изогнутой парой приложенной к правому концу, нужно только в выражении (25) положить с тогда получим

Для вычисления углов поворота концов балки будем иметь

Имея эти результаты, легко получаем путем сложения решение для изгиба балки двумя парами сил, приложенными по концам. Возьмем, например, случай двух равных и прямо противоположных пар Тогда

Углы поворота концов при этом, на основании (29), будут

Наибольший изгибающий момент получается посередине. Он будет представляться такой формулой:

Пользуясь тем же способом сложения, мы на бсновании результата (25) легко напишем выражение для прогиба в любой точке балки с опертыми концами, изгибаемой системой вертикальных сил и сжимаемой силами Если обозначим через расстояния точек приложения сил от правого конца (индексы при этом указывают порядок сил, в котором мы их встречаем, идя от правого конца), то для сечения балки между силами прогиб представится так:

Таким же образом мы сразу могли бы написать выражение для угла поворота любого сечения и для величины изгибающего момента в этом сечении, пользуясь выражениями (26).

От сосредоточенных сил легко перейти к сплошным нагрузкам, нужно только суммирование заменить соответствующим интегрированием. Возьмем в качестве примера балку с опертыми концами, нагруженную равномерной нагрузкой интенсивности Для получения уравнения изогнутой оси нужно только в выражении (33) вместо поставить вместо поставить и вместо поставить Выполняя указанное интегрирование,

получаем

Полагая в этом выражении находим прогиб посередине

который, на основании обозначения (27), легко представить в такой форме:

Эта формула имеет такой же характер, как и прежние. Прогиб балки при наличии поперечной нагрузки и продольной силы получается умножением прогиба от одной только поперечной нагрузки на некоторую функцию 1 аргумента и. Дифференцируя выражение (34) и полагая получаем значения углов поворота концов балки в таком виде:

Наибольший изгибающий момент в рассматриваемом случае будет иметь место посередине пролета, и мы его вычислим на основании уравнения упругой линии (34):

Из приведенных примеров ясно видно, что при помощи выражений (25) и (26) мы без всяких затруднений можем исследовать изгиб сжатой балки с опертыми концами при любой поперечной нагрузке.

Если бы изгибающие силы не лежали в главной плоскости балки, то каждую из сил пришлось бы разложить на две составляющие, направленные по главным осям инерции поперечного сечения, и потом отдельно исследовать изгиб балки в каждой из главных плоскостей так, как это мы делали выше.

При технических расчетах особый интерес представляет величина наибольших напряжений. В рассматриваемых задачах мы получаем для наибольшего по абсолютному значению напряжения формулу в

которой через обозначена площадь поперечного сечения и через момент сопротивления. При выборе сечения приходится исходить из определенной величины допускаемых напряжений, и здесь возникает вопрос, можем ли мы в рассматриваемых задачах брать для допускаемого напряжения такую же норму, как и в тех случаях, где вполне применим принцип сложения действия сил. Предположим, что мы в каком-либо случае, где вполне применим принцип сложения действия сил, приняли допускаемое напряжение равным и допустим, что величина — значение опасного, предельного напряжения (например, величина напряжения, соответствующего критической точке для литого железа), тогда представляет собой коэффициент безопасности. Если бы все силы, действующие на рассматриваемую часть балки, увеличились в раз, то вследствие принципа сложения во столько же раз увеличились бы и напряжения. Величина наибольшего напряжения при этом достигает опасного предела Следовательно, здесь коэффициент безопасности показывает, что мы достигнем опасного предельного напряжения при увеличении всех сил в раз.

К иному заключению мы придем в тех случаях, когда, например, как в балке, подвергающейся действию изгиба и сжатия, принцип сложения не применим, Возьмем случай изгиба равномерной нагрузкой балки, сжимаемой силами Если для нее взять прежнее допускаемое напряжение и определить поперечные размеры на основании формулы

то легко видеть, что при увеличении всех сил в раз наибольшие напряжения возрастут более чем в раз и превзойдут опасный предел В самом при увеличении сил в раз будут увеличиваться не только но также множитель так как величина пропорциональная будет возрастать.

Чтобы и в этом случае наибольшие напряжения достигали опасного предела при увеличении нагрузок в раз, нужно в расчетную формулу (а) вместо поставить величину т. е. положить

так как при этом условии мы при увеличении всех сил в раз получим для наибольших напряжений величину

Из этого следует, что при одновременном действии изгиба и сжатия величина допускаемых напряжений должна быть меньшей, чем в тех случаях, где вполне применим принцип сложения, т. е. меньше и отношение очевидно, равно отношению правых частей формул (а) и Таким же способом без особых затруднений могут быть вычислены коэффициенты уменьшения и для других частных случаев нагрузки,