§ 3. Случай бесконечно длинной балки

Предположим, что балка неограниченной длины лежит на сплошном упругом основании и изгибается сосредоточенной силой (рис. 2). Кривая изгиба в данном случае, очевидно, будет симметрична относительно точки приложения силы, причем прогибы у и производные должны быть малыми величинами для точек, весьма удаленных от места приложения силы. Этим условиям мы удовлетворим, если для правой ветви кривой, соответствующей положительным значениям х, положим в общем интеграле Кроме того, в нашем случае следовательно,

Рис. 2.

Для определения произвольных постоянных воспользуемся тем обстоятельством, что в точке приложения силы касательная к изогнутой оси балки горизонтальна 1 и перерезывающая сила непосредственно справа от места приложения силы равна Следовательно,

откуда находим

Все обстоятельства изгиба балки в рассматриваемом случае определятся выражениями:

Для всех входящих в эти выражения функций имеются готовые таблицы при помощи которых легко можно найти величину прогиба, изгибающего момента и перерезывающей силы в любом сечении балки. Пользуясь принципом сложения действия сил, легко при помощи формул (9) найти изгиб балки под действием системы сосредоточенных сил. Без всяких затруднений мы можем перейти также к случаю изгиба балки сплошной нагрузкой, распределенной на некотором протяжении. Предположим, например, что равномерно распределенная нагрузка интенсивности занимает участок длиною с (рис. 3). Пользуясь принципом сложения действия сил, находим для прогиба балки в какой-либо точке А такое выражение:

Рис. 3.

Если длины загруженных участков настолько значительны, что с представляют собой большие числа, то в полученном выражении для у можно отбросить два последних члена, и мы получим

Следовательно, можно считать, что вдали от концов длинного загруженного участка балка не гнется, и приходящаяся на нее равномерная нагрузка равномерно распределяется по основанию. Если взять точку в конце длинного загруженного участка и положить, например то получим для этой точки т. е. здесь прогиб будет вдвое меньше, чем в ранее взятой точке.

Перейдем к другому крайнему случаю: положим длину загруженного участка весьма малой и найдем прогиб, соответствующий средине загруженного участка. Полагая в выражении (10) а не получаем

Результат этот совпадает с тем, который получается для сосредоточенного груза

Заметим здесь, что, говоря о коротком или длинном загруженном участке, следует иметь в виду отношение длины участка к длине представляющей длину волн, образуемых осью балки, в случае действия сосредоточенной силы [см. формулы (9)].

Формулами (9) выгодно пользоваться при расчете рельсов, подвергающихся действию системы сосредоточенных грузов. Хотя рельс лежит не на сплошном упругом основании, а на упругих поперечинах, но при встречающихся на практике густоте расположения шпал и жесткостях рельсов мы получим достаточно точные результаты, если упругие опоры заменим сплошным упругим основанием. Пусть сила, которую нужно приложить к шпале в месте прикрепления рельса, чтобы вызвать осадку шпалы, равную единице, и а — расстояние между осями шпал, тогда жесткость к упругого основания, заменяющего упругие опоры, определится так:

Теми же формулами (9) можно воспользоваться при расчете килевой балки, когда нужно определить напряжения от давлений, передаваемых балке поперечными водонепроницаемыми переборками при постановке судна на киль. Давления эти можно считать сосредоточенными силами. Роль упругого основания в этом случае будет играть набор кильблоков и положенный на них настил.

Приведем такой численный пример.

Момент инерции поперечного сечения килевой балки Расстояние от нейтрального слоя до наиболее удаленного волокна см] Размеры и упругие свойства кильблоков таковы, что килевая балка вдавливается в основание на 1 см при нагрузке (см. Следовательно, Требуется найти наибольшие напряжения, возникающие в килевой балке у поперечной переборки, передающей сосредоточенное давление При этих данных имеем

Наибольшие напряжения

Пользуясь принципом сложения действия сил, легко оценить также влияние соседних переборок на величину найденных наибольших напряжений.

Рис. 4.

Рис. 5.

Из формул (9) легко можно получить два решения, имеющих практическое значение.

Если взять сечение, для которого то в нем изгибающий момент равен нулю и вся правая часть балки изгибается поперечной силой, действующей во взятом сечении. Надлежащим переносом начала координат получим решение для случая, представленного на рис. 4. Прогиб балки выразится при этом таким образом:

Выбирая сечение, для которого мы при помощи формул (9) получаем решение для случая, представленного [на рис. 5. Прогиб балки представится при этом такой формулой:

Формулами (11) и (12) можно воспользоваться для приблизительной оценки давлений на кильблоки у свешивающихся частей корпуса судна. Их можно применить также при определении давлений на основание, возникающих при спуске судов. И в том. и в другом случае

мы отсекаем свешивающуюся часть корпуса и действие ее заменяем поперечной силой и парой сил. Рассматривая часть корпуса, расположенную на основании, как призматическую балку большой длины, можем воспользоваться формулами (11) и (12) для определения прогибов и соответствующих давлений на основание.