§ 62. Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями, изгибаемой и сжимаемой в срединной плоскости

Здесь мы рассмотрим вопрос об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями, подвергающейся действию усилий, параллельных оси х, причем интенсивность этих усилий изменяется по линейному закону (рис. 117), определяемому формулой

Изменяя в этой формуле величину а, мы можем получить различные соотношения между напряжениями изгиба и напряжениями сжатия. Полагая, например, получаем случай чистого изгиба, когда наибольшее сжимающее усилие имеющее место при равняется наибольшему растягивающему усилию, получающемуся при При мы получим случай одновременного действия изгиба и сжатия, при будем иметь случай изгиба с растяжением. Если положить то придем к ранее рассмотренному случаю равномерного сжатия пластинки вдоль одной из сторон.

Рис. 117.

При определении будем исходить из рассмотрения энергии системы. Самое общее выражение для искривленной формы равновесия пластинки в случае опертых краев напишется так:

Соответствующее выражение для потенциальной энергии изгиба (формула 231) будет

Работа сжимающих усилий вследствие смещения краев при выпучивании пластинки вычислится по такой формуле:

Подставляя сюда вместо выражение (b) и принимая во внимание, что

получаем для работы сжимающих сил выражение

Приравнивая это выражение потенциальной энергии изгиба пластинки, получаем для такое выражение:

где нечетное число.

Теперь нужно из всех возможных искривленных форм равновесия выбрать такую, которой соответствует наименьшее значение Это значение и будет искомое Составляя производную от выражения (d) по каждому из коэффициентов и приравнивая эти производные нулю, мы приходим к системе бесконечного числа уравнений такого вида:

Соберем все уравнения с определенным значением В эту систему войдут коэффициенты Остальные коэффициенты положим равными нулю.

Тогда соответствующая искривленная форма равновесия определится таким образом:

Поверхность эта, как мы видим, подразделяется в направлении оси х узловыми линиями на полуволн, поскольку каждую полуволну можно рассматривать как независимую пластинку, то мы в дальнейшем можем ограничиться исследованием выпучивания пластинки по одной полуволне. Для этого из системы уравнений (е) нужно оставить лишь уравнения, для которых Пользуясь нашими прежними обозначениями

напишем эти уравнения в таком виде:

где нечетное число.

Мы получили систему линедных однородных уравнений, связывающих между собой коэффициенты Система эта может дать для коэффициентов решения, отличные от нуля, лишь в том случае, если определитель ее равен нулю. Приравнивая нулю определитель уравнений (f), мы получаем,

таким образом, все те значения при которых возможна искривленная форма равновесия пластинки. Наименьшее из этих значений и будет искомое Вычислить можно путем последовательных приближений. В качестве первого приближения можно ограничиться лишь первым уравнением системы (f) и оставить в нем лишь первый коэффициент положив остальные равными нулю. Тогда получим

Это первое приближение дает удовлетворительные результаты лишь в случае больших значений а (при а = 1,5 погрешность первого приближения для квадратной пластинки составляет около 4%), т. е. когда напряжения сжатия преобладают над напряжениями изгиба. С увеличением а формула (237) приближается к формуле (233), полученной для равномерного сжатия.

Чтобы найти второе приближение, нужно взять два первых уравнения системы (f) и ограничиться коэффициентами Тогда получим

Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем

Отсюда получаем второе приближение для Например, в случае чистого изгиба, когда находим

Погрешность второго приближения для квадратной пластинки около 8%. С возрастанием а погрешность убывает и, начиная с можно при практических расчетах ограничиваться вторым приближением. Для получения третьего приближения нужно взять три уравнения системы При уравнения эти напишутся так:

Приравнивая нулю определитель этих уравнений, находим третье приближение для Значения критических напряжений могут быть представлены в таком виде:

Величины коэффициентов к, полученные указанным выше способом, даны в табл. 31. Первая строчка значений к в этой таблице и первое число второй строчки получены на основании третьего приближения. Остальные значения вычислены по второму приближению.

Таблица 31 (см. скан)

Можно было бы получить соответствующие числа с помощью дальнейших приближений, но им будут соответствовать столь малые изменения приведенных в таблице значений к, что практически с этими изменениями считаться не придется. Заметим только, что всякое последующее приближение может сопровождаться лишь уменьшением к, так как увеличение числа коэффициентов соответствует увеличению числа степеней свободы нашей системы, что может сопровождаться лишь уменьшением общей жесткости системы.

Рис. 118.

Вычисления, которые мы здесь привели, относятся к случаю, когда в направлении оси х выпучившаяся пластинка представляет одну полуволну. Но, принимая во внимание, что при выпучивании по нескольким полуволнам мы можем каждый участок пластинки между двумя узловыми линиями рассматривать как независимую пластинку, легко распространить наши результаты на случай пластинки с любым числом полуволн в направлении оси х. Возьмем, например, случай чистого изгиба. Изменения коэффициента к в зависимости от отношения представлены на рис. 118 кривой Мы видим, что сначала с возрастанием отношения коэффициент к убывает и достигает своего наименьшего значения при Далее начинается возрастание к, и при величина этого коэффициента, вычисленная в предположении одной полуволны, получается большей, чем для отношения Это свидетельствует о том, что квадратная пластинка при чистом изгибе уже будет подразделяться на две полуволны и при дальнейшем возрастании отношения нужно пользоваться кривой которая получается из кривой путем удвоения абсцисс. Подобным же образом могут быть построены кривые Пересечением кривых определяется момент перехода от одной полуволны к двум. Так же точно кривые в пересечении дают то значение отношения начиная с которого получается три полуволны, и т. д. Легко видеть из рисунка, что с увеличением длины пластинки значения к все меньше будут отклоняться от своего наименьшего значения. Для достаточно длинной пластинки мы можем полагать и считать, что при выпучивании такая пластинка подразделится узловыми линиями на участки, соотношение сторон которых равно приблизительно

Полученные результаты показывают, что в случае чистого изгиба прямоугольные пластинки гораздо устойчивее, чем при равномерном сжатии, и критические напряжения могут получиться в пределах упругости лишь при сравнительно тонких пластинках. Так, например, при мы получаем Подобным же образом решается вопрос об устойчивости длинных пластинок и при других значениях а. Заметим, что с увеличением а коэффициент к убывает и в пределе приходит к тем значениям, которые мы имели при равномерном сжатии. Соответственно изменяется и то значение отношения которому соответствует наименьшее k.

Отметим, что принятый здесь метод исследования устойчивости может быть распространен и на тот случай, когда линейно распределенные нормальные усилия действуют не только в направлении оси х, но также и в направлении оси у.