§ 73. Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию равномерного наружного давления

При исследовании плоской деформации цилиндрической трубки (см. § 68) мы выяснили вопрос об устойчивости трубки, испытывающей равномерное наружное давление.

Полученное нами при этом значение критического давления [см. формулу (261)] будет совпадать с данными опытов лишь в том случае, если длина трубки весьма велика по сравнению с ее диаметром. В противном случае на величину критического давления существенное влияние будет оказывать способ закрепления концов.

Рассмотрим здесь такое закрепление концов, которое допускает равномерное сжатие цилиндрической трубки, но препятствует сплющиванию трубки у концов в том случае, когда наружное давление превзойдет критическое значение и трубка в средней своей части потеряет свое первоначальное круговое очертание. Допустим также, что эта деформация не сопровождается появлением изгибающих моментов по концам трубки.

Если расположить начало координат по середине длины трубки и обозначить эту длину через то условия по концам запишутся так:

где обозначает равномерное боковое давление, имеют прежние значения.

В рассматриваемом случае преобладающее значение будут иметь усилия поэтому мы при определении критических давлений будем пользоваться уравнениями (270). Частное решение этих уравнений, соответствующее круговой форме равновесия сжатой трубки, мы можем получить сразу, положив

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь малые отклонения от круговой формы равновесия сжатой трубки и потому будем отбрасывать последние члены в первом и третьем уравнениях системы (270). Если еще принять во внимание условие нерастяжимости (см. § 70) при рассматриваемых отклонениях, из которого следует, что

то уравнения (270) для нашей задачи напишутся так:

или после небольших преобразований

При помощи формул § 67, 70 все усилия и моменты выражаем через перемещения и, таким образом, приходим к трем уравнениям, заключающим три

неизвестные функции и, Мы можем удовлетворить этим уравнениям и условиям на концах, если положим

целое число Этой форме равновесия, как легко видеть, соответствует искривление образующих цилиндра по синусоиде с одной полуволной. Число полуволн, образующихся по окружности трубки, определяется числом

Подставив величины (b) в уравнения (270), выраженные через перемещения, и вводя для упрощения обозначения

придем к таким уравнениям:

Здесь для сокращения введены такие обозначения:

Критическое значение давлений и соответствующее значение у находим из условия совместимости уравнений (d).

Составляя соответствующий определитель и приравнивая его нулю, приходим после ряда преобразований к такому результату:

Здесь мы положили и приняли обозначение

Вычисления показывают, что уравнение (f) может быть значительно упрощено. Можно отбросить член, содержащий множитель и считать величину

малой, тогда будем иметь

По размерам трубки мы, задаваясь числом можем на основании обозначений вычислить ; и потом из (271) найти соответствующее у, которым определяется давление Путем последовательных попыток нужно найти такое число которому соответствует наименьшее у. Этим значением и определится искомое Оказывается, что, чем меньше длина трубки по сравнению с диаметром, тем больше тем большее чисдо полуволн образуется но окружности выпучившейся трубки. Несколько значений для мы приводим в табл. 40. При вычислениях принято

Таблица 40 (см. скан)

Конечно, приведенные значения критических давлений будут совпадать с опытом 1 лишь в том случае, когда соответствующие им сжимающие напряжения не превосходят предела упругости материала. За этим пределом таблица будет давать для преувеличенные значения. Мы могли бы ближе подойти к действительности, если бы вместо постоянного модуля ввели некоторую переменную величину зависящую от сжимающих напряжений в трубке 2. Если материал трубки имеет модуль отличный от модуля принятого при составлении таблицы, то числа таблицы нужно множить на отношение

Полученные результаты относятся к определенному закреплению концов, но, нужно думать, что способ закрепления в данном случае не будет играть существенной роли, если только трубка при сплющивании сохраняет по концам круговое очертание. Если, например, концы трубки не могут свободно поворачиваться и искривление сопровождается появлением по концам изгибающих моментов то влияние этих моментов будет иметь лишь местное значение и, вероятно, не окажет значительного влияния на критические напряжения, если только длина трубки I не будет малой по сравнению с радиусом а.