Глава VII. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

§ 67. Основные допущения

Оболочками будем называть тонкие пластинки, имеющие в своем естественном состоянии криволинейную поверхность.

Толщину оболочек будем предполагать постоянной и обозначим ее через Поверхность, делящую толщину оболочки пополам, назовем срединной поверхностью. При исследовании изгиба тонкой оболочки будем исходить из допущения, которым мы уже пользовались в теории плоских пластинок.

Мы будем предполагать, что при изгибе линейные элементы, нормальные к срединной поверхности до деформации, остаются прямыми и располагаются нормально к деформированной срединной поверхности.

Рис. 129.

Рассмотрим предварительно такой простейший случай. Бесконечно малый элемент (рис. 129), вырезанный из оболочки главными нормальными сечениями, деформируется так, что соответствующий элемент срединной поверхности не испытывает растяжений. Боковые грани остаются плоскими и лишь поворачиваются относительно линий пересечения их со срединной поверхностью. Пусть главные радиусы кривизны срединной поверхности до деформации и соответственно их величины после деформации. Имея значения главных радиусов кривизны после деформации, легко найдем деформации в любой точке выделенного элемента. Берем начало координат на срединной поверхности и координатные оси направляем по касательным к главным нормальным сечениям этой поверхности. Ось z направляем так, чтобы получить правовинтовую координатную систему (,х,

Выделим из нашего элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной поверхности и отстоящий от нее на расстояние z. Удлинения этого слоя легко могут быть найдены из геометрических соображений. Размер выделенного слоя в направлении оси х до деформации равен (рис. 129) После деформации тот же размер при не изменившейся длине

представится так: Следовательно, относительное удлинение в направлении оси х будет

Подобным же образом найдем и другое растяжение:

Каких-либо сдвигов в плоскости выделенного тонкого слоя при сделанных предположениях относительно общей деформации элемента очевидно, не будет.

Рис. 130.

Мы можем несколько обобщить наши формулы, наложив на рассмотренную деформацию элемента растяжения срединной поверхности по направлениям При этих растяжениях будем предполагать грани элемента перемещающимися параллельно самим себе. В этом случае относительное удлинение слоя как видно из рис. 130, представится так:

Мы в дальнейшем будем рассматривать лишь случай тонких оболочек, когда мало по сравнению с Поэтому в наших формулах величинами можно будет пренебрегать по сравнению с единицей и написать выражения для удлинений в таком виде:

Величины и будем называть изменениями кривизны.

Пренебрегая напряжениями мы по найденным растяжениям получаем формулы для напряжений:

Соответствующие этим напряжениям усилия, действующие по граням элемента можно для каждой грани привести к одной силе, приложенной в центре тяжести грани и к паре сил. Силу и линейный момент пары сил разлагаем на составляющие по направлению нормали к срединной поверхности и по касательным к соответствующим главным нормальным сечениям срединной поверхности. Величины этих составляющих, отнесенные к единице длины сечения срединной поверхности, будем обозначать такими же буквами, как это было принято при исследовании изгиба пластинок. Тогда мы получим для растягивающих усилий такие выражения:

Для изгибающих моментов будем иметь

Здесь величина представляет жесткость оболочки при изгибе. Величина эта, как и в случае пластинок, представляется формулой

Таким образом, принятый нами простейший случай деформации элемента может быть осуществлен путем приложения по граням элемента только нормальных напряжений, приводящихся к растягивающим усилиям интенсивности и к изгибающим моментам интенсивности

Более общий вид деформации элемента мы получим, если по граням его приложим кроме нормальных усилий, найденных выше, еще и касательные усилия. В таком случае напряжения по грани с нормалью х кроме нормальной составляющей будут иметь еще и касательные составляющие Точно так же для граней с нормалью у будем иметь касательные напряжения Соответственно этому получим касательные усилия, для которых сохраним те же обозначения, которыми мы пользовались в случае пластинок.

Таким образом, будем иметь

Касательные напряжения дадут нам крутящие моменты которые представятся такими формулами:

Установим связь между этими крутящими моментами и деформацией оболочки, как это мы сделали для изгибающих моментов [формула (254)].

Под действием моментов равных по абсолютному значению, но противоположных по чнаку, элемент будет испытывать два одинаковых кручения вокруг осей Благодаря первому кручению грани с нормалями х повернутся одна относительно другой вокруг оси х на угол Вследствие второго кручения грани с нормалями у повернутся одна относительно другой на Через мы обозначили здесь одинаковую для обоих направлений величину кручения. Благодаря этим кручениям бесконечно тонкий слой, выделенный из элемента (см. рис. 129) и отстоящий от срединной поверхности на расстояние получит сдвиг, величина которого легко находится из геометрических соображений. На рис. предстазляет в плане выделенный из элемента бесконечно тонкий слой.

Рис. 131.

Благодаря двум кручениям, он получит в плане форму ромба Уменьшение первоначально прямого угла представляющее искомый сдвиг, будет равно — и соответствующее сдвигающее напряжение представится так:

Следовательно,

Чтобы составить полную деформацию выделенного нами из оболочки элемента, остается рассмотреть тот сдвиг в срединной поверхности, который является следствием действия усилий Обозначая через величину этого сдвига, можем написать

Таким образом, при сделанном нами основном допущении относительно деформации оболочки, соответствующем гипотезе плоских сечений в теории изгиба стержней, деформация выделенного из оболочки элемента определится тремя величинами: и характеризующими искажения в срединной поверхности, и тремя элементами: зависящими от изгиба срединной поверхности. Все шесть величин как мы дальше увидим, могут быть в каждом частном случае выражены через перемещения, которые совершают точки срединной поверхности при деформации оболочки.

Потенциальная энергия, накопляемая в элементе оболочки при деформации, может быть представлена в виде двух слагаемых: одного, соответствующего растяжениям и сдвигу в срединной поверхности, и другого, зависящего от изгиба срединной поверхности и определяемого величинами

Первая часть потенциальной энергии оболочки, отнесенная к единице поверхности, представится так:

Подставляя вместо их значения из (253) и (258), получаем

Для потенциальной энергии изгиба будем иметь выражение такого же вида, как и в случае изгиба пластинок [см. формулу (208). Следовательно,

Применим теперь полученные нами общие формулы к решению нескольких простейших задач по расчету тонких оболочек.