§ 61. Об устойчивости прямоугольной пластинки, растягиваемой или сжимаемой вдоль обеих сторон

Предположим теперь, что кроме усилий действующих в направлении оси х, имеются еще перпендикулярные к ним усилия Очевидно, что всякое растягивающее усилие в направлении оси у будет увеличивать найденное нами ранее значение вычисленное для Точно так же сжатие в направлении оси у будет уменьшать то же усилие. Когда достигает наименьшего из значений, при которых имеет место равенство [см. (с) § 59]

обращается в нуль и при дальнейшем увеличении плоская форма равновесия пластинки будет устойчива при отрицательных т. е. при надлежаще подобранных растягивающих усилиях в направлении оси х.

Так же, как при мы можем и в настоящем случае показать, что наименьшие значения для при которых плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой, получаются из условия (с) § 59, если в нем все коэффициенты кроме одного, положить равными нулю. Таким образом, критические значения усилий должны удовлетворять уравнению

Или, переходя к напряжениям и пользуясь прежними обозначениями

получаем условие

Каждому значению чисел соответствует особая форма равновесия выпучивающейся пластинки, определяемая уравнением

и вполне определенная зависимость между напряжениями получаемая из уравнения Зависимость эта линейная и графически может быть представлена для каждой пары значений тип соответствующей прямой линией. На рис. 116 нанесено несколько таких линий, относящихся к случаю квадратной пластинки. По оси х отложены напряжения по оси Если в уравнении положим то получим точки пересечения наших прямых с осью Ими определяются значения сжимающих напряжений, при которых возможны искривленные формы равновесия пластинки в случае действия лишь усилий Ближайшая из полученных точек пересечения определит найденное ранее значение для Точно так же, полагая в уравнении приходим к задаче об устойчивости пластинки, сжимаемой лишь в направлении оси у. Критическое напряжение определится ближайшей к началу координат точкой пересечения наших прямых с осью На нашем рисунке величина критических напряжений определяется пересечением прямой с координатными осями. Получаем, таким образом, прежний результат. Для квадратной пластинки, сжимаемой усилиями или первая возможная искривленная форма равновесия будет иметь лишь одну полуволну.

Рис. 116.

Составляя для заданного соотношения между сторонами пластинки рисунок, подобный рис. 116, мы легко решаем вопрос о критических напряжениях при любом соотношении между напряжениями Особенно просто решается задача в том случае, когда пластинка подвергается равномерному сжатию, т. е. когда При этом уравнение перепишется так:

Наименьшее значение для получается при Следовательно, в этом случав

Чтобы получить это решение из рисунка, нужно только из начала координат провести линию, делящую пополам угол между координатными осями, и получить точку пересечения этой линии с прямой Таким образом, при равномерном сжатии первая искривленная форма всегда имеет одну полуволну как в направлении ширины, так и в направлении длины пластинки.

Если одно из напряжений, например задано, то для получения критического значения другого напряжения нужно только на рисунке провести линию, параллельную оси и отстоящую от нее на заданном расстоянии Точки пересечения этой линии с прямыми определят все те значения при которых становятся возможными искривленные формы равновесия пластинки с заданным сжимающим напряжением Точка с наименьшей ординатой определит искомое При разыскании этой точки нет надобности наносить на рисунке все линии (g), нужно взять лишь две группы линий, для которых

Пересечениями этих линий определяется многоугольник (части линий, составляющих этот многоугольник, показаны на рис. 116 сплошной линией), разделяющий плоскость рисунка на две части. Легко показать, что в той части, где лежит начало координат, не будет проходить ни одна из линий следовательно, для определения критических напряжений нужно построить лишь многоугольник Для каждого значения пересечение прямой линии с соответствующей стороной многоугольника дает искомое значение Заметим, что положительным значениям при принятых обозначениях соответствует сжатие, а отрицательным — растяжение. При расчете пластинок на устойчивость, когда задается напряжение и нужно разыскать соответствующее годно по заданной величине заранее установить, которой из сторон многоугольника следует пользоваться для определения Это может быть легко сделано следующим образом. Прежде всего установим те пределы для в которых нужно пользоваться линией На рис. 116 они будут соответствовать, очевидно, абсциссам точек Наибольшее относящееся к линии определяется точкой С, точкой пересечения линий

Решая эти уравнения, находим

Нижний предел для определяется точкой точкой пересечения линий

Из этих уравнений находим

Следовательно, при условии

напряжение будет определяться линией Предположим, например, что прямоугольная пластинка, у которой а сжимается в направлении оси х, причем Нужно найти то наименьшее значение для сжимающих напряжений при котором плоская форма перестает быть устойчивой. Подставляя заданное значение отношения в неравенство получаем Так как заданное нам лежит в этих пределах, то найдется из уравнения

Полагая в нем получаем

Если заданное значение выходит за пределы значений, устанавливаемых условием то нужно пользоваться другими сторонами многоугольника Причем для значений больших верхнего предела, в неравенстве нужно пользоваться группой линий

Для значений меньших низшего предела, в неравенстве нужно рассмотреть линии Нетрудно установить пределы для относящиеся к каждой из этих линий.

Рассмотрим, например, первую группу линий, соответствующую случаю

Установим пределы для относящиеся к стороне Низший предел определяется пересечением линий и линии Решая соответствующие уравнения

получаем для низшего предела значение

Подобным же образом для верхнего предела из условия пересечения линий находим

Следовательно, линией нужно пользоваться при определении если лежит в таких пределах:

Совершенно таким же образом для тех случаев, когда

и когда нужно пользоваться группой линий линия будет служить для определения если лежит в таких пределах:

Применим полученные результаты к расчету пластинки, у которой В этом случае

и нам нужно обратиться к неравенству (1). Оно будет удовлетворено при Следовательно, определится прямой

Полагая здесь находим

Этим определяется то значение растягивающих напряжений при котором плоская форма равновесия пластинки со сжимающими напряжениями перестает быть устойчивой. Для растягивающих напряжений, больших найденного значения, пластинка устойчива, для меньших — не устойчива.

Если к той же пластинке приложены в направлении оси х растягивающие усилия то для определения нужно обратиться к неравенствам Неравенства будут удовлетворены при Следовательно, определяется прямой

Отсюда, полагая находим