§ 7. Эллипсоид напряжений

Предположим, что координатные осях, у, z совпадают с главными осями для данной точки. Тогда формулы для определения напряжения по любой площадке, проходящей через взятую точку, становятся особенно простыми. Проекции напряжения по площадке с нормалью на координатные оси на основании уравнений (5) выразим формулами

Составляющие напряжения по площадке с нормалью х на основании (6) и (7) будут:

Формулы (9) дают возможность получить геометрическое представление для изменения полного напряжения при поворачивании площадки, к которой это напряжение относится. Будем откладывать от начала координат отрезки, равные и параллельные полным напряжениям по различно направленным площадкам. Обозначив через переменные косинусы углов, составляемых нормалями к этим площадкам с координатными осями, на основании (9) найдем координаты концов отложенных таким образом отрезков:

Принимая во внимание равенство найдем, что концы отложенных нами отрезков лежат на поверхности эллипсоида

который в дальнейшем условимся называть эллипсоидом напряжений.

Полуосями эллипсоида напряжений будут служить главные напряжения в данной точке. Так как одна из главных осей представляет наибольший радиус-вектор, а другая — наименьший, то, следовательно, одно из главных напряжений представляет наибольшее напряжение в данной точке, а другое — наименьшее.

Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений получает форму эллипсоида вращения. Если равные по величине главные напряжения имеют одинаковые знаки, то напряжения по всем площадкам, проходящим через ось вращения, будут одинаковы и нормальны к площадкам. Если все три главных напряжения равны между собой, то эллипсоид

напряжений превращается в шар и всякие три взаимно перпендикулярные направления могут быть приняты за главные оси.

Когда одно из главных напряжений равно нулю, то одна из осей эллипсоида напряжений также равна нулю; при этом поверхность эллипсоида обращается в площадь эллипса. В этом случае напряжения по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, лежат в одной плоскости. Такое напряженное состояние называется плоским напряженным состоянием.

Если два главных напряжения обращаются в нуль, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, и мы имеем линейное напряженное состояние. С этим видом напряженного состояния мы встречаемся при рассмотрении растяжения и сжатия призматических брусков силами, действующими по оси брусков.

Каждый радиус-вектор эллипсоида напряжений представляет собой по величине и направлению напряжение по одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Чтобы найти ту площадку, к которой выбранное напряжение относится, построим поверхность второго порядка, определяемую уравнением

Эту поверхность называют направляющей поверхностью. Легко показать, что площадка, к которой относится какой-либо радиус-вектор эллипсоида напряжений, параллельна плоскости, касательной к направляющей поверхности в точке пересечения ее с выбранным радиусом-вектором. В самом деле, уравнение плоскости, касательной к направляющей поверхности в какой-либо точке напишется так:

С другой стороны, обозначив через длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость, и через косинусы углов, составляемых с координатными осями, запишем уравнение той же плоскости в таком виде:

Сравнивая (а) и (Ь), получаем

Подставив эти значения в формулы (9), найдем выражения для проекций напряжения по площадке, параллельной плоскости (а):

Следовательно, напряжение по этой площадке действительно направлено в точку касания плоскости