§ 19. Изгиб кольца силами, не лежащими в плоскости кривизны

Предположим, что круговое кольцо, в плоскости кривизны которого лежит одна из главных осей инерции поперечного сечения, подвергается действию системы сил, не лежащих в плоскости кривизны кольца. Эти силы вызовут

искривление оси кольца по некоторой пространственной кривой, которую мы сможем построить, если будем знать перемещение каждой точки оси кольца при деформации. Перемещения эти можно задать тремя составляющими, которые будем выбирать следующим образом.

Пусть отрезок заданного кругового кольца (рис. 26), плоскость есть плоскость кривизны кольца и — центр кольца. Возьмем поперечное сечение в точке А, определяемой углом который будем отсчитывать от некоторого радиуса Для выбранной точки построим подвижную систему координат причем ось z направим по касательной к круговой оси кольца в сторону возрастания угла ось направим по главной оси инерции поперечного сечения к центру кольца, наконец ось совпадающую с другой главной осью инерции, направим так, чтобы оси представляли собой правую винтовую координатную систему (при вращении от завинчивание происходит в направлении Построив для каждой точки оси кольца подобную координатную систему, мы будем разлагать перемещения точек на направления построенных осей. Обозначим через составляющие перемещения по направлениям Составляющую в направлении обозначим через

Рис. 26.

Перейдем теперь к деформированному состоянию кольца и для каждой точки оси построим координатную систему аналогичную только что описанной. Ось z будем направлять по касательной к деформированной оси кольца. Что касается осей х и у, то, принимая во внимание возможность искривления поперечного сечения кольца, условимся направлять их так, чтобы плоскость xz была касательной к той поверхности, по которой после деформации расположатся точки, лежавшие первоначально в плоскости Ось у направим перпендикулярно к xz Имея составляющие ( перемещения, мы для каждой точки А находим ее новое положение после деформации и в помещаем начало координат системы х, у, z. Ось z направляем по касательной к искривленной оси кольца. Для определения направлений х и у нам нужно иметь еще одну величину. Выберем для этого угол между плоскостями (рис. 27). Угол этот отсчитываем в направлении от

Итак, при помощи четырех величин и, и мы можем вполне определить деформацию кольца, так как с их помощью мы не только можем построить искривленную ось кольца, но будем знать также поворот каждого поперечного сечения.

В общем случае деформации каждый элемент кольца, выделенный двумя бесконечно близкими поперечными сечениями, может испытывать одновременный изгиб в двух главных плоскостях и кручение. Величины изгибающих и скручивающего моментов, а следовательно, и величины вызываемых ими напряжений будут определяться изменениями кривизны и кручением. До деформации ось кольца представляла собой плоскую кривую и кривизна равнялась Величину эту в дальнейшем будем обозначать буквой к и будем представлять ее отрезком, отложенным по оси (рис. 28). Если представить себе начало координат А движущимся со скоростью, равной единице, вдоль оси бруска, а оси вращающимися так, что в каждый момент они имеют принятые нами выше направления, то, очевидно, к представит собой не что иное, как угловую скорость координатной системы В дальнейшем мы воспользуемся этим обстоятельством и с отрезками, представляющими кривизну, будем

поступать так, как в динамике твердого тела поступают с угловыми скоростями мы будем их геометрически складывать и вычитать.

Обратимся теперь к деформированному состоянию кольца и будем двигать начало координатной системы х, у, z со скоростью, равной единице, вдоль деформированной оси кольца.

Рис. 27.

Рис. 28.

Если при этом движении направление осей в каждый момент устанавливается таким, как мы условились выше, то угловая скорость вращения системы х, у, z относительно оси х дает нам кривизну оси кольца в главной плоскости Мы ее обозначим через (рис. 29). Точно так же угловая скорость относительно оси у дает кривизну в плоскости наконец, угловая скорость х относительно оси z представляет собой кручение кольца

Обозначая изгибающие моменты в плоскостях соответственно через и скручивающий момент — через будем иметь

Рис. 29.

Здесь через обозначены жесткости при изгибе, через С — жесткость при кручении. Чтобы установить связь между внешними силами и перемещениями, нам нужно уметь выразить при посредстве величин и, которыми определяется деформация кольца. Так как мы имеем дело лишь с малыми перемещениями, то можно определить изменения кривизны и кручение, вызываемые каждой из величин и, и потом влияния отдельных величин сложить. Начнем с величины Если перемещения нули и деформация кольца заключается лишь в поворачивании сечений на малые углы то кривизна оси остается прежней, равной х, и составляющие ее, представляющие собой кривизны в главных плоскостях (рис. 30), соответственно 2 будут

Что касается кручения, то оно будет обусловлено изменением угла вдоль оси кольца и представится так:

Перемещения вызывают лишь искривление оси кольца в плоскости начальной кривизны, и мы на основании прежних результатов (см. формулу (89)) будем иметь

Рассмотрим теперь перемещения в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца. Эти перемещения вызовут искривление в плоскости и не повлияют на кривизну в плоскости Следовательно,

Рис. 30.

Кроме того, благодаря перемещениям и между осями получится угол, величина которого представится производной Угол этот обусловливает появление кручения В самом деле, при движении координатной системы со скоростью, равной единице, вдоль оси кольца, получившей перемещения у, мы будем иметь вращение около оси х со скоростью и около оси, перпендикулярной плоскости кольца, со скоростью х. Проекция скорости к на направление оси z и представит собой кручение. Следовательно,

Суммируя результаты (а), (b) и (с), найдем, что в случае кругового кольца, деформация которого определяется величинами величины кривизны и в главных плоскостях и кручения могут быть представлены такими формулами:

К этому присоединяем еще условие нерастяжимости оси [см. формулу (b) § 18]:

При помощи формул (97) и (98) мы можем решить целый ряд задач, относящихся к изгибу кругового кольца. Рассмотрим, например, случай, представленный на рис. 31. Часть кругового кольца АВ заделана на конце В и изгибается силой перпендикулярной к плоскости кольца и приложенной в точке А. Для какой-либо точки определяемой углом величины изгибающих и скручивающего моментов легко находятся из рисунка и представляются такими формулами:

Тогда на основании (97) и (98) будем иметь

Из второго уравнения получаем

Рис. 31.

Произвольную постоянную выбираем так, чтобы у заделанного конца величина обращалась в нуль. Тогда

Определяя отсюда и вставляя его в первое из уравнений (d), находим

Общий интеграл этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами напишется так:

Подбирая произвольные постоянные и таким образом, чтобы при обращались в нули величины приходим к такому результату:

Таким образом, перемещения точек оси бруска в направлении, перпендикулярном к плоскости кривизны, найдены. Что касается перемещений то, пренебрегая малыми высшего порядка, находим, что они равны нулю.

В самом деле, при действии сил, перпендикулярных к плоскости кривизны, момент обращается в нуль, поэтому на основании (98) заключаем, что и, а следовательно, и также будут равны нулю, если исключить перемещения бруска как твердого тела.

В случае действия нескольких сосредоточенных сил мы для вычисления прогибов можем воспользоваться принципом сложения действия сил.

Если силы направлены как угодно, то мы их всегда можем разложить на составляющие, направляя одну из составляющих в плоскости кольца и другую перпендикулярно к этой плоскости. Первая система вызовет изгиб кольца в его плоскости. Под влиянием второй системы возникнут лишь перемещения Решая отдельно каждую из этих задач и потом суммируя перемещения и напряжения, мы получаем решение для случая действия сил, как угодно направленных.

Без особых затруднений мы можем составить дифференциальное уравнение для перемещений причем в это уравнение войдут кроме и лишь известные величины, зависящие от размеров бруска и распределения внешних сил, перпендикулярных к плоскости кольца. Напишем для этого уравнения равновесия элемента кольца, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями, причем примем во внимание и деформацию этого элемента.

Рис. 32.

Рис. 33.

В таком полном виде уравнения эти понадобятся в дальнейшем при решении некоторых вопросов устойчивости. Внешние силы, перпендикулярные к плоскости кольца, будем считать непрерывно распределенными и интенсивность их обозначим через У.

Кроме этих сил на выделенный элемент кольца будут действовать усилия по плоскостям концевых поперечных сечений. Усилия эти на каждом конце мы можем привести к одной силе, приложенной в центре тяжести сечения и к паре сил. Как силу, так и пару разлагаем на составляющие по направлениям подвижной системы осей х, у, z. Силы будут перерезывающими силами, продольной силой (рис. 32). Направления моментов, принятые за положительные, представлены на рис. 33. Проектируя все приложенные к элементу силы на ось х, получаем такое уравнение:

Подобным же образом составляются и два другие уравнения. Сокращая их на приходим к такой системе:

Пользуясь геометрическим представлением моментов (см. рис. 33), мы таким же способом составляем три других уравнения равновесия:

Если деформациями элемента пренебречь, то уравнения равновесия представятся в более простой форме:

При разыскании перемещений нам понадобятся из этой системы лишь уравнения

Дифференцируя второе из этих уравнений по и принимая во внимание уравнения первое и третье, получаем

Далее на основании (97) и (98) имеем

Отсюда

Вставляя сюда вместо его выражение через из третьего уравнения системы принимая во внимание (g), получаем

Подставив найденное значение в уравнение (g), придем к искомой зависимости между перемещениями нагрузкой

Определив из этото уравнения мы при помощи выражений легко найдем

Если кольцо будет изгибаться сосредоточенными силанет, то на протяжении междх двумя точками приложения сия уравнение (102) будет иметь вид

Общий интеграл этого уравнения напишется так:

Произвольные постоянные должны быть определены из условий закрепления.

Рис. 34.

В качестве второго примера рассмотрим изгиб балки с полукруглой осью, поддерживающей равномерно распределенную нагрузку (рис. 34). Если через обозначим интенсивность равномерной нагрузки, то уравнение (102) напишется так:

Отсюда находим

Если концы балки считать заделанными, то для определения постоянных в будем иметь шесть таких условий:

Определение постоянных несколько упростится, если угол отсчитывать не от ОВ, а от радиуса, перпендикулярного к В таком случае из условий симметрии заключаем, что должно быть четной функцией следовательно, в общем интеграле нужно положить

Для остальных постоянных получаем значения

Здесь для краткости введено обозначение

Вставляя найденные значения постоянных в общий интеграл, мы при помощи и (1) получаем

При помощи этих формул может быть выполнен расчет балки.