§ 14. Об изгибе слегка искривленных стержней

При исследовании изгиба кривых стержней мы убедились, что элементарная теория, построенная на гипотезе плоских сечений, дает для напряжений весьма точные результаты. Поэтому в основание дальнейших выводов мы можем положить эту гипотезу и считать, что величина изгибающего момента пропорциональна изменению кривизны оси стержня в рассматриваемом сечении. Рассмотрим здесь случай, когда ось стержня весьма мало искривлена в одной из главных плоскостей стержня и все силы действуют в плоскости кривизны. Задача эта представляет практический интерес, так как ее решение позволит нам сделать некоторые выводы относительно влияния начального прогиба, всегда встречающегося при практическом выполнении прямых стержней, на обстоятельства изгиба стержня. При исследовании изгиба направим ось х по линии, соединяющей концы искривленной оси стержня, ось у расположим в плоскости кривизны. Обозначим через ординаты начального искривления оси и через прогибы, обусловленные действием сил. При малых искривлениях мы можем как для начальной кривизны, так и для кривизны, получающейся после деформации, брать приближенные выражения. В таком случае изменение кривизны, вызванное действием сил, представляется так:

где Следовательно, дифференциальное уравнение, определяющее изменение кривизны оси стержня, напишется так:

Если концы стержня при изгибе свободно могут скользить по оси х и никаких продольных сил не приложено, то, очевидно, прогибы слегка искривленного стержня ничем не будут отличаться от соответствующих прогибов стержня с идеально прямой осью. Иной результат мы получим, если перейдем к исследованию изгиба в случае действия не только поперечных нагрузок, но и продольных сил. Действие этих сил, как мы уже видели, зависит от искривления оси стержня, и потому начальная кривизна в задачах такого рода будет играть существенную роль. Исследование этих вопросов, конечно, можно выполнить путем интегрирования основного уравнения (а), но мы быстрее придем к цели, если воспользуемся представлением уравнения изогнутой оси стержня в форме тригонометрического ряда. Начальное искривление оси стержня всегда можно представить в такой форме:

Здесь, как и прежде, через I обозначено расстояние между опорными точками стержня. Начало координат совпадает с левым концом оси стержня. Концы стержня предположим свободно поворачивающимися. В таком случае прогиб, обусловленный действием сил, можно представить так:

Для определения коэффициентов воспользуемся началом возможных перемещений. При этом нам понадобится выражение для потенциальной энергии изогнутого стержня и для работы внешних сил. Так как уравнение (а) для определения такое же, как и в случае прямого стержня, то, очевидно, мы можем воспользоваться прежним выражением для потенциальной энергии (61) и положить

В качестве поперечной нагрузки возьмем силу сосредоточенную на расстоянии от левого конца. Если мы будем рассматривать перемещения, соответствующие приращению коэффициента в выражении (с), то работа, совершаемая силой на этом перемещении, очевидно, представится так:

Предположим, что кроме поперечной нагрузки на наш стержень действуют продольные сжимающие силы приложенные по концам. При вычислении работы этих сил на возможных перемещениях нам нужно знать изменение расстояния между концами стержня при искривлении сил. Разность между длиной искривленной оси стержня после деформации и длиной хорды, соединяющей концы стержня, на основании формулы (65), представится так:

Та же разность до деформации

Следовательно, изгиб стержня сопровождается таким изменением расстояния между его концами:

Если мы коэффициенту дадим приращение то этому будет соответствовать изменение расстояния между концами

При этом сжимающие силы совершат работу

и соответствующее уравнение для определения коэффициента напишется так:

Если мы воспользуемся прежним нашим обозначением то получим

Вставляя это в выражение для прогибов (с), находим

Сравнивая это с результатом, полученным нами раньше для прямых стержней [см. формулу (66)], заключаем, что первая сумма полученного выражения (74) представляет собой прогиб прямого стержня. Второй суммой оценивается влияние кривизны. Дополнительный прогиб, обусловленный начальным искривлением, совершенно не зависит от поперечной нагрузки, и мы его можем вычислить без всяких затруднений, если только заданы коэффициенты Пользуясь сложением действий поперечных нагрузок, мы при помощи выражения (74) легко найдем прогибы при любой поперечной нагрузке. Возьмем, например, изгиб равномерно распределенной нагрузкой стержня, имеющего начальное искривление по параболе. Чтобы представить это искривление в виде тригонометрического ряда, поступим так. Возьмем случай изгиба прямого стержня двумя равными и прямо противоположными парами сил, приложенными по концам. На основании формулы (63) уравнение искривленной оси представится так:

и прогиб посередине будет

С другой стороны, для того же прогиба мы можем написать

Так как в этом случае можно искривленную ось стержня принять за параболу (приближенная формула для кривизны приводит нас в случае частого изгиба к искривлению по параболической кривой), то на основании сравнения (d) и (е) мы можем для начального параболического искривления со стрелкой взять такое выражение:

Следовательно, коэффициент в выражении (b) будет иметь значение и формула (74) даст нам для равномерной нагрузки такое уравнение изогнутой оси:

где

В рассмотренном случае влияние начальной кривизны может быть оценено очень просто, нужно только прогибы, вычисленные для прямого стержня, помножить на величину При положительных значениях начальная кривизна вызывает увеличение прогибов. Отрицательное значение вызовет, конечно, противоположное действие. От прогибов мы можем перейти к углам поворота концов и к изгибающим моментам.

Изменяя знак силы мы без всяких затруднений переходим к исследованию изгиба при одновременном действии поперечной нагрузки и продольных растягивающих сил. Например, в случае равномерной нагрузки и при первоначальном искривлении по параболе выражение для прогибов балки с опертыми концами (см. § 10) напишется так:

При абсолютно заделанных концах опорные моменты на основании формулы (47) представятся так:

Выражение для прогибов балки при упруго заделанных концах напишется на основании (49) так:

Формулы эти отличаются от тех, что мы имели для прямых стержней, лишь множителем Знак перед мы переменили соответственно изменению

знака Еще более простые выражения для прогиба получим, если возьмем начальное искривление по синусоиде

Рассмотрим случай действия только продольной силы. В таком случае формула (74) дает нам

С увеличением продольной сжимающей силы возрастает а вместе с тем возрастает и прогиб. Особенно быстро начинает увеличиваться прогиб с приближением к единице, что соответствует приближению продольной сжимающей силы к эйлеровой нагрузке. При наше выражение (77) обращается в бесконечность. При знаменатель выражения (77) становится отрицательным, и мы будем получать положительные прогибы при отрицательном значении Это показывает, что мы можем стержень с начальным искривлением перегнуть в противоположную сторону и держать его так в изогнутом состоянии при помощи продольных сжимающих сил, но величина этих сил должна быть больше эйлеровой нагрузки и тем больше, чем меньшее искривление мы желаем поддерживать.

До сих пор мы предполагали продольные силы заданными. Иногда они нам не известны и являются следствием того, что концы стержня при изгибе не могут свободно скользить вдоль оси х. Предположим, например, что вследствие особых закреплений расстояние между концами не может изменяться. В таком случае

Вставляя вместо их значения, мы из этого уравнения могли бы найти величину продольной оси и потом полностью исследовать вопрос об изгибе, как это мы делали в предыдущих задачах, где продольные силы были заданы. Если концы стержня соединены упругой связью так, что изменение расстояния между ними пропорционально продольной силе, то величина продольной силы найдется из уравнения

где К — коэффициент распора.

Если бы мы, например, вместо взяли начальный прогиб, соответствующий искривлению по параболе, и вместо выражение (76), то получили бы уравнение для определения продольной силы при упруго заделанных концах. В это уравнение войдет величина зависящая от 5, и потому определение в этом случае будет сложнее, чем было при прямом стержне [см. уравнение (58)]. Решение уравнения удается разыскать лишь путем последовательных попыток. Мы для упрощения этой задачи воспользуемся тем же приближенным методом, который был применен раньше для прямых стержней (см. § 13). Допустим, что под действием поперечной нагрузки и продольных растягивающих сил стержень с опертыми концами изгибается по синусоиде Начальное

искривление также примем по стнусоиде В таком случае

Вставляя это в уравнение (78), приходим к такому уравнению для определения

как и раньше, обозначает квадрат радиуса инерции поперечного сечения. Из этого уравнения величина может быть определена без всяких затруднений. Несколько численных примеров этого рода мы приводим ниже в связи с исследованием изгиба пластинок по цилиндрической поверхности.