Глава V. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 24. Постановка задачи

При решении дифференциальных уравнений равновесия

для составляющих напряжения приходится подыскивать такие выражения, чтобы были удовлетворены условия на поверхности (3) и, кроме того, — найденные выше (§ 19) дифференциальные зависимости (38) и (39). Зависимости эти, как видно из их вывода (уравнение (е), § 19), связывают между собой вторые производные составляющих напряжения. Поэтому в случаях, когда удается удовлетворить уравнениям равновесия (а) и условиям на поверхности, выбрав для составляющих напряжения постоянные величины или линейные функции координат, дифференциальные зависимости будут, наверное, удовлетворены, а решения системы уравнений (а) будут решениями соответствующей задачи теории упругости.

Эти простейшие задачи на основании различных произвольных допущений относительно деформации тел были разрешены значительно ранее установления общих уравнений теории упругости. Сюда относятся случаи растяжения и сжатия призматических стержней, задача о всестороннем равномерном сжатии, чистый изгиб призматических стержней и пластинок и кручение круглых стержней. Все эти вопросы излагаются в элементарном курсе сопротивления материалов. Здесь мы еще раз возвращаемся к ним, чтобы на самых простых примерах показать общий ход решения задач теории упругости и выяснить общий метод определения перемещений точек упругого тела, если известно распределение напряжений.