§ 18. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба кругового кольца

Предположим, что кольцо радиуса (рис. 22) деформируется под действием заданной системы сил, лежащих в плоскости кольца В той же плоскости лежит одна из главных осей инерции сечения. При деформации точки оси кольца будут совершать перемещения в плоскости Перемещение какой-либо точки А можно разложить на составляющие; радиальное перемещение, направленное к центру, обозначим через и перемещение по касательной к оси в направлении возрастания угла 9 обозначим через В самом общем случае мы можем представить радиальное перемещение таким рядом:

Что касается перемещения то общее выражение для него мы найдем, если примем во внимание, что в случае тонкого кольца относительные удлинения оси кольца весьма малы и их можно считать равными нулю при вычислении перемещений иж

Рис. 22.

Принимая это допущение, мы тем самым берем вместо действительного кольца некоторую гипотетическую модель — кольцо с абсолютно нерастяжимой осью. При равномерном внешнем или внутреннем давлении такое кольцо будет вести себя как абсолютно твердое тело. Перемещения точек нашей модели будут весьма близки к перемещениям действительного кольца, если деформации растяжения оси кольца играют ничтожную роль по сравнению с деформациями изгиба, а это обыкновенно и имеет место в случае тонких колец, так как при уменьшении поперечного сечения кольца площадь сечения убывает как квадрат поперечных размеров, а момент инерции сечения, которым определяется деформация изгиба, убывает как четвертая степень тех же размеров. Следовательно, уменьшение размеров сечения сопровождается увеличением значения той части перемещений, которые обусловлены деформациями изгиба.

Напишем общее выражение для удлинения оси кольца через перемещения Из геометрических соображений заключаем, что перемещению соответствует относительное удлинение Радиальному перемещению и будет соответствовать относительное сжатие

Пренебрегая малыми высшего порядка, мы получаем для удлинения оси кольца такое выражение:

Для нашей модели с нерастяжимой осью будем иметь

Вставляя вместо и его выражение (а), получаем для такое значение:

Деформация кольца нам будет известна, если мы найдем для заданной системы внешних сил соответствующие значения коэффициентов Разыскание этих коэффициентов легко выполняется при помощи начала возможных перемещений. Нужно только составить выражение для потенциальной энергии деформированного кольца.

Так как мы приняли для кривого бруска то же самое распределение напряжений, что и для бруска с прямой осью, то для энергии изгиба формула будет иметь такой вид [см. формулы (88) и (88)]:

или, вставляя вместо и его выражение (а), находим

Заметим, что в этом выражении пропадают члены с коэффициентами и так как соответствующее перемещение есть не что иное, как общее перемещение кольца как твердого тела, не сопровождающееся деформациями. Перемещение это мы могли бы получить из уравнения (88), полагая в нем

Рис. 23.

Имея выражение (91), мы легко можем находить значения коэффициентов для различных случаев нагрузки. Поясним это примерами. Рассмотрим случай изгиба кольца двумя взаимно противоположными силами (рис. 23). Работа этих сил на перемещениях, соответствующих приращению какого-либо коэффициента напишется так:

при четном

при нечетном

Подобным же образом для приращений найдем Следовательно, отличными от нуля будут лишь коэффициенты при четном значении Начало возможных перемещений дает для определения этих коэффициентов уравнения

откуда находим

Следовательно,

Для сближения точек приложения получаем выражение

В качестве второго примера рассмотрим кольцо, подвергающееся действию наружного гидростатического давления (рис. 24). Центр кольца удерживается на глубине при посредстве силы Принимая ширину кольца в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, равной единице и обозначая через у вес единицы объема жидкости, находим, что интенсивность давлений на кольцо в каком-либо сечении А будет равняться

Рис. 24.

Сила удерживающая кольцо, очевидно, равна Так как все силы, приложенные к кольцу, имеют радиальное направление, то при составлении работы этих сил придется иметь в виду лишь перемещения и. Если коэффициенту а» в общем выражении для и дать приращение , то соответствующая работа внешних сил напишется так:

при

при

Работа, соответствующая приращению будет равна нулю.

Для определения а» начало возможных перемещений дает нам уравнение откуда Следовательно,

Из приведенных примеров видно, что, пользуясь началом возможных перемещений, мы при помощи выражения (91) для потенциальной энергии можем представить перемещения и и н? в виде быстро сходящихся рядов. Имея эти ряды, легко находим величину изгибающего момента для любого поперечного сечения кольца.

Остановимся теперь подробнее на втором разобранном нами примере. Из полученного решения (93) видно, что перемещения и не зависят от абсолютной величины давлений, приходящихся на кольцо, а лишь от разности этих давлений в верхней и нижней точках кольца (этой разностью определяется сила Увеличивая глубину погружения кольца мы будем все время получать на основании (93) одно и то же сплющивание кольца, несмотря на все увеличивающиеся давления. Между тем известно, что при большом всестороннем давлении, сильно сжимающем кольцо, даже незначительные изгибающие силы могут вызвать

большие искажения первоначально круговой формы кольца. Такое несоответствие между действительным явлением и решением (93) объясняется тем обстоятельством, что мы в своем исследовании все время исходили из первоначальной круговой формы кольца. При такой форме наша модель с нерастяжимой осью под действием всестороннего равномерного сжатия не получает никаких деформаций, но если какие-либо дополнительные силы вызовут искривления оси кольца, то всесторонние сжимающие усилия, наверное, увеличат эти искривления. Мы будем здесь иметь полную аналогию с задачей об изгибе прямого стержня, подвергающегося одновременному действию поперечной нагрузки и продольной сжимающей силы. Если в этом случае исходить из первоначальной прямой формы, то придем к заключению, что продольная сила вызывает только сжатие. На самом деле вследствие искривления оси продольная сила будет вызывать не только сжатие, но и изгиб, и влияние ее на изгиб при некоторых условиях может быть очень велико. Чтобы оценить влияние всестороннего равномерного давления, вызывающего сжатие кольца, на изгиб, нужно исходить не из первоначальной формы кольца, а из той формы, которая получилась после деформации.

Рис. 25.

Пусть элемент кольца до деформации (рис. 25). Продольные сжимающие силы уравновешивают внешнее равномерное давление, приходящееся на элемент После деформации элемент занимает положение Вследствие искривления элемента кольца силы поворачиваются одна относительно другой на угол

Равнодействующая этих сил в радиальном направлении получит приращение

Мы можем сказать, что при искривлении равномерно сжатого кольца действие продольных сжимающих сил на прогибы равносильно действию сплошной нагрузки радиального направления и интенсивности:

Применим эти общие соображения к нашему первому примеру. Предположим, что круговое кольцо, испытывающее равномерное сжатие изгибается двумя взаимно противоположными силами (см. рис. 23). Заменяя влияние продольной силы на прогиб радиальной сплошной нагрузкой (94) и применяя начало возможных перемещений, приходим к такому уравнению для определения коэффициента при четном:

Вставляя вместо и его выражение (а) и выполняя интегрирование, получаем

Радиальные перемещения представятся так:

Подобным же образом для второго примера получим

Как и следовало ожидать, продольная сжимающая сила вызывает увеличение искривлений. Чтобы получить влияние продольной растягивающей силы, нужно только в полученных выше формулах изменить знак силы

Мы все время предполагали, что имеем полное замкнутое кольцо, но описанный здесь способ решения применим и в том случае, когда имеется лишь часть кольца с шарнирно опертыми концами. Если через а обозначим центральный угол, соответствующий данному отрезку кольца, то угол будет изменяться в пределах от до а. Для перемещения и можно взять выражение

Так как при при величины и обращаются в нуль, то условия на концах будут соблюдены. Вычисление коэффициентов может быть выполнено так же, как и в предыдущих случаях.

Заметим еще, что намеченным здесь приемом без всяких затруднений решается также вопрос об изгибе кольца, деформациям которого препятствует упругая среда. В таких условиях будет находиться, например, горизонтально расположенное кольцо, прикрепленное к системе часто распределенных вертикальных упругих стоек. При решении этой задачи нужно к потенциальной энергии изгиба кольца присоединить энергию, соответствующую деформации упругой среды.