§ 21. Непосредственное определение перемещений
В § 19, 20 был показан путь решения задачи теории упругости, который распадался на два этапа. Сначала по заданным внешним силам определялись напряжения и потом по найденным напряжениям — соответствующие перемещения. В некоторых случаях удобнее непосредственно приступать к определению перемещений 
Для этого необходимо дифференциальные уравнения равновесия
выразить через перемещения 
На основании зависимостей (28) между составляющими напряжения и деформации имеем
Вставляя эти значения в первое из уравнений (а), получаем
Подобным образом могут быть преобразованы и два другие уравнения системы 
Пользуясь для упрощения символом 
представим уравнения
равновесия, выраженные через перемещения, в таком виде:
Если тело совершает движение, то к объемным силам придется присоединить силы инерции, и мы получим такую систему дифференциальных уравнений:
Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности:
Подставляя вместо 
их выражения через перемещения, получаем 
Или, принимая во внимание, что производная по нормали
получаем
Уравнения (43) и условия на поверхности (44) вполне определяют перемещения 
которые совершают точки закрепленного упругого тела при деформации.
В случае, когда нет объемных сил, уравнения (43) перепишутся так:
Дифференцируя первое из этих уравнений по х, второе по у, третье по z и складывая результаты, находим:
Следовательно, объемное расширение 
представляется в этом случае функцией удовлетворяющей дифференциальному уравнению
