§ 60. Изгиб круглой пластинки

Изгиб круглой пластинки нагрузкой, распределенной симметрично относительно центра, исследуют обыкновенно в элементарных курсах сопротивления материалов. При этом для упрощения решения предполагают, что каждый

линейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости, остается при деформации прямым и устанавливается нормально к искривленной срединной поверхности пластинки. Нормальными напряжениями действующими по площадкам, параллельным срединной плоскости, в элементарной теории изгиба пластинок пренебрегают.

При помощи решений мы можем проверить результаты, получаемые элементарным путем. Если мы для функции напряжений воспользуемся полиномами третьей степени и положим то формулы (106) дадут для напряжений следующие выражения:

Таким образом, получим случай однородного напряженного состояния. Подбирая надлежащим образом значения произвольных постоянных можно найти распределение напряжений в круглом диске, для которого заданы постоянные значения на поверхности.

Возьмем теперь функцию напряжений в виде полинома четвертой степени и положим Вставляя это в формулы (106), найдем для напряжений такие выражения:

Подберем произвольные постоянные так, чтобы было удовлетворено условие В таком случае напряжения обратятся в нуль для всех точек пластинки. Напряжения являются линейной функцией от z и представляются такой формулой Отсчитывая z от срединной плоскости пластинки, приходим к распределению напряжений в случае чистого изгиба пластинки моментами, равномерно распределенными по контуру. Результат этот совершенно совпадает с элементарным решением.

Рассмотрим изгиб круглой пластинки равномерно распределенной нагрузкой. Для этого воспользуемся функцией напряжений в виде полинома шестой степени. Составляя эту функцию указанным выше способом (§ 59), получаем

Вставляя это значение функции напряжений в формулы (106), находим для напряжений такие выражения

Предположим, что z отсчитывается от срединной плоскости пластинки, толщина пластинки равна (рис. 88) и наружный радиус равен а. В таком

случае на верхней и нижней поверхностях должны быть удовлетворены такие условия:

Чтобы удовлетворить всем этим условиям, присоединим к решениям (116) следующие значения напряжений, получаемые из (114) и (115):

Рис. 88.

Вставляя выражения для напряжений в условия (а), получаем для определения четырех произвольных постоянных следующие четыре уравнения:

Отсюда получим такие значения произвольных постоянных:

Напряжения представятся следующими формулами:

Заметим, что распределение напряжений по толщине пластинки такое же, как и для прямоугольной полосы, изгибаемой равномерной нагрузкой [формулы (60) § 34], Что касается радиальных напряжений то они представляются нечетной функцией от z. Соответствующие им усилия приводятся к изгибающим моментам, равномерно распределенным по контуру пластинки.

Чтобы получить изгиб пластинки с опертым краем, нужно к напряжениям (117) присоединить напряжения чистого изгиба

и определить произвольную постоянную так, чтобы было удовлетворено условие при

Вставляя вместо его значение и выполняя интегрирование, получаем

Окончательно радиальные напряжения для пластинки с опертыми краями представятся такой формулой:

Для центра пластинки радиальные напряжения будут

Элементарная теория для тех же напряжений дает значение

В тех случаях, когда радиус пластинки велик по сравнению с ее толщиной, разница между точным и приближенным решениями ничтожна и мы можем пользоваться приближенными формулами.

Наложением напряжений (b), соответствующих чистому изгибу, мы устранили изгибающие моменты, распределенные по контуру пластинки и соответствующие решению (117), но при этом не уничтожили радиальных напряжений Контур пластинки не свободен от нормальных напряжений, но эти напряжения таковы, что соответствующие им равнодействующая сила и равнодействующая пара сил, приходящиеся на каждый элемент дуги контура, обращаются в нуль. В таком случае на основании принципа Сен-Венана заключаем, что оставшиеся на контуре нормальные усилия могут оказывать заметное влияние на величину напряжений лишь в точках, близких к контуру.

Заметим еще, что полученные выше решения для круглой пластинки будут справедливы лишь в том случае, если перемещения (прогибы пластинки) малы по сравнению с ее толщиной. В противном случае, даже при чистом изгибе пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру, срединная поверхность пластинки испытывает растяжения или сжатия, зависящие от и от величины прогиба.