§ 20. Определение перемещений

Определив составляющие напряжения, при помощи установленных раньше зависимостей (36) между напряжениями и деформациями найдем составляющие деформации Дальнейшая задача будет заключаться в определении по найденным деформациям соответствующих перемещений и она приводится к интегрированию системы линейных уравнений первого порядка

Эти шесть уравнений заключают девять различных производных. Если трем из этих производных дать произвольные значения, то остальные шесть производных определятся из приведенных уравнений Найдя таким образом значения всех производных, путем интегрирования получим величины перемещений При этом интегрировании, очевидно, появятся три новые произвольные постоянные, следовательно, в окончательные выражения войдут шесть произвольных постоянных Механический смысл этих произвольных постоянных ясен; они указывают на то что, не меняя деформаций, можем сообщить телу перемещение, возможное для абсолютно твердого тела.

Перемещение это в общем случае определяется шестью величинами: тремя составляющими перемещения по направлениям координатных осей и тремя вращениями относительно тех же осей. Аналитически это может быть показано следующим образом. Пусть решения уравнения (а), тогда также будут решениями этих уравнений, если только

удовлетворяют уравнениям

Если эти уравнения продифференцировать по х, у и z, то получим 18 уравнений, заключающих 18 различных вторых производных от Все эти производные оказываются равными нулю, следовательно, перемещения представляют собой линейные функции координат. Легко проверить, что самый общий вид этих перемещений, при наличии уравнений (b), будет такой:

Очевидно, с представляют перемещения, соответствующие поступательному движению. Величины суть элементарные вращения относительно координатных осей. Если мы к дифференциальным уравнениям равновесия и к условиям на поверхности присоединим еще условия закрепления (см. § 10), то сможем определить постоянные следовательно, найдем перемещения обусловленные деформацией тела.