ВВЕДЕНИЕ

Основная задача теории упругости заключается в том, чтобы по заданным действующим на твердое тело внешним силам находить те изменения формы, которые тело претерпевает, и те внутренние силы упругости, которые при этих изменениях формы возникают между частями тела. В таком общем виде задача теории упругости еще далеко не разрешена, но имеется целый ряд достаточно полно исследованных частных случаев. Этими результатами можно пользоваться при решении весьма важных технических задач, когда приходится иметь дело с выбором прочных размеров частей инженерных сооружений и машинных конструкций. Вопросы эти в курсах сопротивления материалов решаются на основании различных допущений, более или менее оправдываемых на практике. В теории упругости те же задачи решаются аналитическим путем. Мы находим здесь выражения для перемещений и внутренних сил упругости деформируемого тела, применяя начала механики и математический анализ к исследованию равновесия и движения твердого тела, способного несколько изменять свою форму под действием внешних сил.

Прежде всего нужно установить понятие об упругом твердом теле. В статике и динамике под твердым телом подразумевают систему неизменно связанных между собой материальных точек. Поскольку при действии на такое тело внешних сил расстояния между отдельными его точками не изменяются, то внутренние силы не входят в уравнения задачи и внутреннее строение твердого тела в этом случае не имеет никакого значения. Переходя к определению внутренних сил, мы должны принять во внимание способность твердых тел несколько изменять свою форму под действием внешних сил: при этом необходимо выяснить внутреннее строение упругого твердого тела.

Основатели теории упругости при установлении основных уравнений этой теории исходили обыкновенно из представления молекулярного строения вещества. Твердые тела они себе представляли состоящими из отдельных материальных частиц, молекул, между которыми действуют силы взаимодействия.

Силы взаимодействия между двумя молекулами считали обыкновенно направленными по линии, соединяющей центры молекул, и предполагали, что величина этих сил зависит лишь от расстояния между частицами. При действии на твердое тело внешних сил расстояние между частицами изменяется, вместе с тем изменяются и силы взаимодействия.

Эти изменения продолжаются до тех пор, пока не наступит равновесие между внешними и внутренними силами. При дальнейшем развитии теории молекулярного строения вещества пришлось принять во внимание также и тепловые явления, которые сопровождают изменения формы тел. Пришлось допустить, что молекулы, из которых состоит твердое тело, находятся в постоянном колебательном движении и что этими колебаниями определяется температура тела.

С современной точки зрения эти представления о строении твердых тел весьма несовершенны. Приходится признать, что наши знания недостаточны для построения теории упругости, в которой было бы принято во внимание действительное строение твердых тел. Поэтому в дальнейшем мы будем оперировать с некоторым гипотетическим идеальным упругим телом, и этому телу припишем такие свойства, чтобы те заключения, которые будут получены аналитическим путем, по возможности точнее согласовались с данными опыта.

Предположим следующее:

1. Вещество идеального упругого тела непрерывно распределено по его объему. В случаях, когда нам придется выделять из этого тела бесконечно малые элементы, будем допускать, что и для этих элементов имеют место все те физические свойства, которыми обладает идеальное упругое тело.

2. Будем считать идеальное упругое тело однородным. Если в таком теле выделить два одинаковых и одинаково ориентированных элемента, то они будут тождественны по своим физическим свойствам.

3. При отсутствии внешних сил и при определенной температуре упругому телу свойственно иметь определенную форму и определенный объем. Это состояние тела будем называть естественным состоянием.

4. Чтобы при постоянной температуре изменить форму тела, необходимо приложить внешние силы. Причем определенному изменению формы тела соответствует вполне определенная система внешних сил. Мы в дальнейшем ограничимся изучением весьма малых изменений формы и объема тел, и потому относительные перемещения точек тела при деформации будем считать малыми величинами.

5. При удалении внешних сил деформированное упругое тело возвращается к своему естественному состоянию, соответствующему данной температуре. Таким образом, естественное состояние идеального упругого тела при данной температуре является устойчивой формой равновесия при этой температуре. Упругое тело обладает свойством накапливать в себе энергию в обратимой форме. Для того чтобы вызвать деформацию тела, нужно затратить известное количество работы и наоборот, такое же количество работы получаем при удалении внешних сил, когда тело возвращается к своему естественному состоянию (при деформации температура тела предполагается все время постоянной).

Перечисленными свойствами идеального упругого тела в большей или меньшей степени обладают и те естественные тела, с которыми нам приходится иметь дело при различных технических расчетах. Такие материалы, как железо и сталь, к которым особенно часто приходится применять выводы теории упругости, обладают весьма однородным строением и если деформации не выходят за известные пределы, то материалы эти можно считать идеально упругими; они возвращаются к своему естественному состоянию, если удалить силы, вызывающие

деформации. Вследствие этого выводы теории упругости, относящиеся к идеальному упругому телу, можно с большой точностью применять к железу и стали. Конечно, при этом не будут учтены такие обстоятельства, как явление гистерезиса и влияние времени на деформацию. Но для таких материалов, как железо и сталь, они не имеют существенного практического значения. Чугун, камни и дерево по своим свойствам больше отличаются от однородного идеального упругого тела и выводы теории упругости с гораздо меньшей точностью применимы к этим материалам. На практике при расчете конструкций, изготовленных из этих материалов, можно ограничиваться значительно меньшей точностью. В таком случае результаты теории упругости в применении к этим материалам можно рассматривать как первое приближение.