§ 37. Колебания кручения круглых валов

Сделаем допущение, что при колебаниях кручения поперечные сечения вала, поворачиваясь одно относительно другого, остаются плоскими и радиусы сечений остаются прямыми Если через 9 обозначим углы поворота поперечных сечений, то скручивающий момент в каком-либо поперечном сечении (см. рис. 74) будет Приравнивая разность скручивающих моментов в двух бесконечно близких сечениях и тгпг моменту сил инерции выделенного из вала элемента относительно оси вала, получаем

Вводя для сокращения обозначение

получаем

Уравнение это совершенно совпадает с уравнением (150), полученным для продольных колебаний призматических стержней, и потому мы можем пользоваться найденными раньше решениями (см. § 35).

В частности, для вала со свободными концами получаем решение

В качестве более сложного примера рассмотрим здесь имеющий практическое значение случай колебания вала, к концам которого прикреплены шкивы. Если через обозначим моменты инерции этих шкивов относительно оси вала, то условия на концах вала получим, приравнивая скручивающие моменты моментам сил инерции соответствующих шкивов. Условия эти напишутся так:

Возьмем одно из главных колебаний и положим, что углы 6 изменяются по закону косинуса. Тогда

где X — функция только х.

Подставив выражение (b) в уравнение (159), найдем

Для определения частоты колебаний воспользуемся условиями Подставляя в них значение 0, получаем

Отсюда приходим к такому трансцендентному уравнению для определения частоты

Вводя для упрощения обозначения

перепишем полученное выше трансцендентное уравнение в такой форме:

Обозначая через последовательные корни этого уравнения, можем написать для такое общее выражение:

где нормальные координаты; множители в скобках — соответствующие нормальные функции. Составим теперь выражения для потенциальной энергии и для живой силы системы:

где для краткости введено обозначение

Члены с произведениями координат в выражение (162) не войдут в силу свойств нормальных координат. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив соответствующие значения интегралов и приняв во внимание уравнение (160).

Живая сила системы составится из живой силы вала и живой силы прикрепленных по концам шкивов. Для нее получим такое выражение:

Уравнения (146) получают следующий вид:

Рассматривая лишь перемещения, вызванные силами имеем

Следовательно,

Для вычисления остается лишь в каждом частном случае подставить в выражение (164) вместо соответствующее значение обобщенной силы.

Остановимся теперь подробнее на предельных случаях, когда моменты инерции шкивов или очень велики, или очень малы по сравнению с моментом инерции вала. Если величины и беспредельно уменьшать, то корни трансцендентного уравнения (160) будут стремиться к значениям и в пределе получим решение для вала со свободными концами.

Предположим теперь, что отношения представляют собой малые величины. Тогда уравнение (160) можно представить в таком виде:

Пренебрегая малыми второго порядка, можно положить

Приближенное значение первого корня этого уравнения будет

Следующие корни представятся так;

Первый корень мал по сравнению с последующими и потому период основных колебаний будет велик по сравнению с периодом следующего по порядку колебания. Первое приближение для частоты основного тона будет

Подставляя в уравнение (165) вместо величину получаем в качестве следующего приближения для первого корня этого уравнения величину

Соответствующее значение для частоты основного тона получим из формулы (166), если вместо подставим выражения

Таким путем получаем возможность оценить влияние массы вала на период колебаний закрепленных по концам шкивов.