Глава VII. КРУЧЕНИЕ

46. Кручение призматических стержней

Призматический невесомый стержень, закрепленный неподвижно в точке А (рис. 62), скручивается касательными усилиями, распределенными по нижнему концевому сечению и приводящимися к паре сил М. В главе V (§ 27) мы рассмотрели случай кручения, когда поперечное сечение скручиваемого стержня — круг, и показали, что для этого случая справедлива гипотеза плоских сечений, принимаемая обыкновенно при элементарном решении вопроса о кручении. В общем случае задача о кручении сводится к разысканию решения дифференциальных уравнений равновесия

удовлетворяющего на боковой поверхности стержня условиям (3), имеющим в рассматриваемом случае вид

и шести дифференциальным зависимостям (40):

Мы упростим решение поставленной задачи, если воспользуемся полуобратным методом Сен-Венана Сущность этого метода заключается в том, что значения некоторых напряжений задаются наперед, а остальные напряжения подбираются так, чтобы были удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия и условия (b) и (с). В тех случаях, когда этого удается достигнуть, получаем точное решение поставленной задачи теории упругости.

Мы видели, что при кручении круговых стержней только составляющие напряжения отличны от нуля. Попробуем и в рассматриваемом более общем случае удовлетворить всем уравнениям теории упругости, исходя из допущения Что касается напряжений то допустим, что их распределение одинаково для всех поперечных сечений скручиваемого стержня. В таком случае будут функциями только и вместо систем уравнений (а), (b) и (с) нам придется иметь дело лишь с уравнениями

Рис. 62.

При решении плоской задачи мы видели, насколько упрощается иногда исследование вопроса путем введения функции напряжений. Воспользуемся этим методом и в настоящем случае. Сразу видно, что мы удовлетворим уравнению равновесия (а), если положим

где функция от х и у. Эта функция должна быть так выбрана, чтобы удовлетворялись уравнения (с). Вставляя в эти уравнения вместо их выражения (d), находим

Следовательно, функция напряжений должна удовлетворять уравнению

Остается теперь рассмотреть условие (b) на контуре. Из рис. 62 видим, что Следовательно, условие (b) может быть представлено так:

функция должна иметь на контуре постоянное значение. И так как величина этой постоянной в случае односвязного контура не влияет на напряжения, мы можем выбрать ее равной нулю. Задача о кручении призматических стержней сводится, таким образом, к разысканию одной функции удовлетворяющей уравнению (е) и обращающейся в нуль на заданном контуре поперечного сечения.

Легко проверить, что получаемое таким путем распределение касательных напряжений действительно приводится к скручивающей паре сил. В самом деле, проектируя все касательные усилия, действующие по плоскости поперечного сечения стержня, на координатные оси и принимая во внимание, что на контуре постоянно, получаем

Момент тех же усилий будет

Выполняя интегрирование по частям и принимая во внимание постоянство значения на контуре, получаем

Постоянная в основном уравнении (е) должна быть выбрана таким образом, чтобы найденный нами момент касательных усилий равнялся моменту внешней скручивающей пары. Физическое значение этой постоянной найдем, если от напряжений перейдем к деформациям. В рассматриваемом случае касательное напряжение равно нулю, следовательно, угол между двумя линейными элементами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня, при кручении не искажается. Возьмем в какой-либо точке сечения элементы и параллельные координатным осям. При кручении первый из этих элементов повернется на угол и второй — на угол —

На основании сказанного будем иметь

где а — угол поворота при кручении для всех линейных элементов, проходящих через выбранную точку и лежащих в плоскости сечения. Этот угол одинаков для всех точек рассматриваемого сечения и представляет собой угол

поворота сечения при скручивании стержня. При переходе от одного поперечного сечения к другому угол а будет изменяться, причем интенсивность этого изменения характеризуется величиной

где х представляет собой угол закручивания стержня, отнесенный к единице его длины.

При помощи выражения преобразуем левую часть основного уравнения Принимая во внимание, что можем переписать левую часть уравнения (е) в таком виде:

Окончательно уравнение, определяющее функцию напишется так:

Если для какой-либо формы поперечного сечения стержня нам удается найти такое решение уравнения (76), при котором остается постоянным на контуре, то этим самым решается задача о распределении напряжений при кручении этого стержня. При этом боковая поверхность стержня будет свободна от всяких усилий; что касается концевых поперечных сечений, то на них касательные напряжения должны быть распределены таким же образом, как и на всяком другом поперечном сечении стержня. Если усилия, распределенные по концам и вызывающие скручивание стержня, распределены по какому-либо иному закону, то это обстоятельство вызовет изменения в распределении напряжений, определяемых на основании уравнения (76), но на основании принципа Сен-Венана мы можем утверждать, что эти изменения будут значительны лишь у концов стержня. Вдали от места приложения сил мы с уверенностью можем пользоваться решением, получаемым на основании уравнения (76).