Мы получим для точек контура 
и можем принять на контуре 
Дифференциальное уравнение (96) перепишется так:
Задача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошной нагрузкой, изменяющейся по закону 
Для определения 
воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки 
будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положим
Рис. 78.
В таком случае
Уравнения (90) представятся в таком виде:
откуда
Обозначая через 
отношение 
находим
Касательные напряжения определятся из формул
Заметим, что второй член в выражении для дает как раз ту величину касательных напряжений, которую мы, на основании некоторых допущений, получаем в элементарной теории изгиба. Функцией 
определяются лишь поправки к касательным напряжениям, вычисляемым элементарным путем.
Вычислим напряжения для точек поперечного сечения, лежащих на оси у. Именно в этих точках, согласно элементарной теории, касательные напряжения
достигают своей наибольшей величины. Составляя производную и принимая во внимание равенства
получаем
Что касается производной то она для рассматриваемых точек обращается в нуль. Для напряжений в этих точках получаем такие формулы:
Множители в фигурных скобках представляют собой те коэффициенты, на которые нужно множить результат элементарной теории, чтобы получить точное значение напряжения. Входящие в полученные формулы ряды весьма быстро сходятся и их суммирование не представляет никаких затруднений. Соответствующие вычисления для различных значений отношения 
были произведены Сен-Венаном. Оказалось, что для высоких прямоугольников результаты элементарной теории весьма близки к точному решению. В случае квадратного сечения коэффициенты, на которые приходится множить величину 
Равнысоответственно 0,94 и 1,13. Для прямоугольников, у которых 
разность между точным и приближенным решениями получается большей, чем для квадрата, и она будет тем больше, чем большее значение имеет отношение 
Таким образом, большие погрешности элементарная теория может дать лишь в случае балок прямоугольного сечения, имеющих малую высоту и большую ширину. Но как раз именно в этих случаях касательные напряжения невелики и влияние их на изгиб ничтожно.
Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (97), нужно положить 
При этом на сторонах 
обратится в нуль выражение 
На сторонах же 
очевидно, производная равна нулю.
