§ 42. Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы

Пусть на пластинку, ограниченную прямолинейным краем А В рис. 36), действуют нормальные усилия, равномерно распределенные по линии (нормальной к срединной плоскости пластинки) и приводящиеся к силе Толщину пластинки будем считать очень малой по сравнению с другими размерами и в дальнейшем примем ее равной единице. Так как по линии распределяются усилия, приводящиеся к конечной силе то здесь мы, очевидно, получим теоретически бесконечно большие напряжения.

Рис. 36

Материал пластинки под действием сосредоточенной силы должен претерпеть по линии остающуюся деформацию. Чтобы иметь право применять в дальнейшем вывод уравнения теории упругости, надо представить себе, что место приложения сил выделено из пластинки цилиндрической поверхностью малого радиуса причем этот радиус подобран так, что вне указанного цилиндра материал пластинки нигде не выходит за предел упругости. Задача наша будет заключаться в разыскании такого распределения напряжений, при котором по краю А В пластинки как нормальные, так и касательные напряжения обращаются в нуль во всех точках, кроме точек линии . По цилиндрической поверхности, выделяющей линию , напряжения должны представлять собою систему сил, эквивалентную силе Это последнее условие показывает, что напряжения по мере удаления от линии убывают обратно пропорционально радиусу Очевидно также, что напряжения будут зависеть от угла 8 и для одного и того же расстояния эти напряжения должны быть тем больше, чем ближе к нулю.

Попробуем удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия и основному уравнению плоской задачи

допустив, что в каждой точке пластинки имеет место простое сжатие по направлению радиуса соединяющего данную точку с точкой О, и что величина этого сжимающего напряжения пропорциональна В таком случае при выбранных нами полярных координатах будем иметь

где коэффициент, величину которого определим из условий равновесия.

После дифференцирования легко убедиться, что выбранное нами распределение напряжений соответствует такой функции напряжений:

Функция эта удовлетворяет уравнению В таком случае решение (b) удовлетворяет уравнениям теории упругости; оно удовлетворяет также условию на крае пластинки и, следовательно, представляет собой решение поставленной выше задачи.

Рис. 37.

Остается теперь подобрать произвольную постоянную величину к так, чтобы усилия по цилиндрической поверхности радиуса выделяющей линию приложения сил, были эквивалентны силе

На элемент поверхности, соответствующий углу приходится усилие Проектируя все эти усилия на направление силы для определения к получаем уравнение:

Для радиального напряжения окончательно получим формулу

Если из какой-либо точки по линии действия силы описать окружность, касательную к краю пластинки (рис. 37), то для всех точек этой окружности величина будет постоянна и равна где диаметр описаннои окружности. Следовательно, точки равных напряжений в пластинке располагаются на окружностях, касательных к линии в точке приложения силы О.

Рассмотрим напряжения в пластинке по какому-либо сечению перпендикулярному к направлению силы По этому сечению будут действовать как нормальные напряжения так и касательные Так как в каждой точке пластинки имеется простое сжатие в направлении то для какого-либо

элемента составляющего с радиусом угола , будем иметь

или, принимая во внимание, что получим

Подобным же образом найдем

При выбранном чисто радиальном распределении напряжений (72) по сечениям, перпендикулярным к пластинке и проходящим через точку приложения силы, нет никаких напряжений. Следовательно, мы можем воспользоваться нашим решением для напряжений в клине, подвергающемся действию силы сосредоточенной в вершине При этом нужно будет только соответствующим образом выбрать коэффициент к в общем решении Возьмем, например, случай симметричного клина (рис. 38). Если предположить, что в каждой точке действует простое радиальное сжатие то для определения коэффициента к получим уравнение Интересно проследить изменение нормальных напряжений по сечению клина при различных значениях а.

Обозначив через расстояние поперечного сечения клина от вершины, получим для напряжений формулу Для точки С эти напряжения равны Что касается крайних точек поперечного сечения то для них напряжение зависит от угла а и определяется выражением Для углов имеем

Рис. 38.

По этим результатам можно составить представление о том, насколько неравномерно распределяются напряжения при сжатии клина в зависимости от угла при вершине.

В случае изгиба клина (рис. 39) мы можем воспользоваться прежним решением Угол отсчитываем от направления силы Находим, что по линии напряжения обращаются в нуль — здесь пройдет нейтральный слой. Для точек лежащих выше нейтрального слоя, будем иметь радиальное растяжение, в точках, расположенных ниже нейтрального слоя, — сжатие. Коэффициент к в общем решении (b) определится из уравнения

Рис. 39.

Вставляя вместо его значение (b), найдем для к выражение Нормальные и касательные напряжения по поперечному сечению представятся так:

Здесь через обозначена величина изгибающего момента в сечении

В случае малых значений угла а можно положить представить формулы для напряжений по сечению в таком виде

При малых значениях а величина близка к единице, распределение нормальных напряжений мало отклоняется от линейного закона, принимаемого в элементарной теории при рассмотрении изгиба брусьев переменного сечения.

Рис. 40.

Рис. 41.

Касательные напряжения достигают наибольшего значения у верхнего и нижнего краев поперечного сечения Полагая получаем для максимальных касательных напряжений формулу

При малых значениях а эта формула дает для величину, близкую к т. е. вдвое больше той, что получается в элементарной теории изгиба

балок постоянного прямоугольного сечения для точек, лежащих по нейтральной линии.

Решение (72), полученное нами для тонкой пластинки, может быть применено и к случаю длинного цилиндра с плоской гранью (рис. 40), если давления равномерно распределены по образующей цилиндра, совпадающей с осью В этом случае в местах, удаленных от концов цилиндра, деформация будет приблизительно плоской, в при изучении напряжений можно ограничиться рассмотрением вырезанной из цилиндра пластинки, размер которой в направлении оси z равен единице.

Без всяких затруднений решение (72) может быть применено и в случае действия нескольких сосредоточенных сил (рис. 41). Складывая действия отдельных сил, мы для какой-либо пластинки получим такие вначения напряжений:

Здесь представляют собой вначения сжимающих сил, отнесенные к единице толщины пластинки.

Рис. 42

Рис. 43.

От сосредоточенных сил легко перейти к любой сплошной нагрувке (рис. 42), распределенной на участке Если через обозначим интенсивность сплошной нагрузки, то давление, соответствующее бесконечно малому элементу, «аштрихованному на рисунке, будет равно

Формулы для напряжений в точке напишутся так!

На рис. 43 представлено распределение касательных напряжений по в случае действия равномерной нагрузки интенсивности на участке Для какой-либо точки прямой напряжение, на основании приведенной выше

формулы, напишется так:

Наибольшее напряжение 1 равно С возрастанием напряжение быстро падает. Легко проверить, что сумма всех касательных усилий по сечению равна В самом деле

Мы до сих пор предполагали, что силы направлены нормально к прямолинейному краю пластинки. Нетрудно распространить решение и на случай наклонных сил, так как при действии силы направленной по (рис. 44), имеет место прежнее решение (72), нужно только 6 отсчитывать от нового направления силы

Рис. 44.

Рис. 45.

При разыскании решения (72) мы предполагали, что пластинка имеет бесконечно большие размеры и потому пренебрегали весьма малыми усилиями по контуру. Полученное решение может быть применено также к пластинке конечных размеров, если нужно разыскать напряжения вблизи точки приложения сосредоточенной силы Для определения напряжений в точках, удаленных от силы необходимо принять во внимание распределение усилий по контуру пластинки, благодаря чему задача становится гораздо сложнее. Мы приводим здесь несколько решений для частных случаев, могущих иметь практическое значение. При исследовании изгиба прямоугольной пластинки сосредоточенной силой (рис. 45) мы можем для точек, удаленных от концов и от места приложения силы вычислять напряжения, пользуясь решением для изгиба Ьалки силой, приложенной на конце (§ 32). У точки приложения силы на вычисленные таким образом напряжения наложатся местные напряжения от сосредоточенной силы. В начале координат эти напряжения имеют такие значения: Для нижней точки В те же напряжения будут Сравнивая эти результаты с наибольшими напряжениями от изгиба заключаем, что дополнительные напряжения в точках могут иметь практическое значение лишь в случае сравнительно коротких балок.

Появление дополнительных сжимающих напряжений в точке В можно объяснить таким образом. Радиальные давления у точки А (рис. 46, а)

статически эквивалентны вертикальной силе и двум горизонтальным взаимно противоположным силам — (рис. 46, б). Эти эксцентрично приложенные продольные силы вызовут по поперечному сечению как растягивающие напряжения, так и напряжения изгиба. Последние напряжения для нижнего края пластинки, очевидно, будут сжимающими.

Рис. 46.

Рис. 47.

Заметим, что распределение напряжений для рассматриваемого случая изгиба прямоугольной пластинки сосредоточенной силой можно получить при помощи общего решения плоской задачи для полосы (§ 35) следующим образом. Исходим из решения (72), полученного для пластинки бесконечно больших размеров. Этому решению соответствует вполне определенное распределение касательных и нормальных напряжений по (рис. 45) и по концевым поперечным сечениям пластинки. Приложим теперь по усилия, равные и прямо противоположные только что найденным, и рассмотрим изгиб пластинки под действием этих усилий. Распределение напряжений в этом случае может быть приближенно представлено тригонометрическим рядом (§ 35).

Рис. 48.

Рис. 49.

Налагая два полученных таким путем решения, придем к изгибу полосы, нижняя грань которой свободна от всяких усилий. Остается только наложением простого растяжения по оси х и чистого изгиба парами сил, приложенными по концам, привести усилия по концевым сечениям к вертикальным опорным реакциям, равным -у.

В том случае, когда пластинка с прямоугольным контуром подвергается действию двух взаимно противоположных сил (рис. 47), распределение напряжений у точек приложения сил с достаточной точностью может быть представлено решением (72). В удаленных точках величины напряжений могут быть получены таким же путем, как и в рассмотренном выше случае изгиба пластинки А.

На рис. 48 представлено распределение напряжений по нормальному сечению пластинки, проходящему через ось х. Мы видим, что сжатие распространяется лишь на ширину, несколько большую ширины полосы, и распределяется по сечению весьма неравномерно. Наибольшее напряжение соответствует началу координат:

Исследован также случай, когда силы сдвинуты одна относительно другой (рис. 49). Здесь интересно отметить распределение касательных напряжений по поперечному сечению делящему пополам расстояние между линиями действия сил

При малых величинах расстояния распределение касательных напряжений может сильно отклоняться от параболического закона, принимаемого обычно при расчетах. На рис. 50 показано 1 распределение этих напряжений для нескольких частных значений отношения

Рис. 50.

Рис. 51.

В качестве примера рассмотрим растяжение прямоугольной полосы силами, сосредоточенными на продольных гранях (рис. 51). Примерно в таких условиях при некоторых способах закрепления может оказаться металлический брусок при испытании на разрыв. Для определения модуля упругости измеряют обыкновенно удлинения бруска по краям Предполагая распределение растягивающих напряжений по сечению бруска равномерным, определяют модуль упругости из соотношения

Толщина пластинки принята равной единице длины.

Более подробные исследования показывают, что в местах, близких к точкам приложения сил, растягивающие напряжения распределяются неравномерно и в формулу (d) необходимо ввести некоторый множитель а, зависящий от расстояния х рассматриваемого сечения до места приложения сил.

Удлинение придется вычислять по формуле причем значения а приведены ниже:

Мы видим, что лишь у места приложения сил получается значительное перенапряжение материала Отступая от места приложения сил на расстояние, равное ширине полосы, можно с достаточной точностью считать распределение напряжений равномерным и применять формулу (d).