Глава VI. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК
§ 59. Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с опертыми краями
Предположим, что прямоугольная пластинка с опертыми краями сжимается силами 
равномерно распределенными по соответствующим сторонам пластинки (рис. 114). Увеличивая сжимающие силы, мы можем достигнуть предела, когда плоская форма равновесия перестает быть устойчивой и дальнейшее увеличение сжатия сопровождается выпучиванием пластинки. Возникает явление, аналогичное явлению продольного изгиба в случае сжатия прямых стержней.
Практически обычно приходится встречаться с задачей, когда одно из усилий 
задано и нужно разыскать то наименьшее значение для другого сжимающего усилия, при котором плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Это предельное значение сжимающих усилий будем называть критическим. Для его определения мы можем использовать те же приемы, которые применялись при изучении устойчивости сжатых стержней. Можно исходить из общего дифференциального уравнения (226) для искривленной поверхности пластинки и определить из него те значения усилий 
при которых прогиб, вызываемый нагрузкой 
начинает неопределенно возрастать. Этот прием мы в дальнейшем применим при изучении устойчивости пластинки с двумя опертыми краями и двумя другими краями, закрепленными как угодно. Здесь же применим другой метод, основанный на рассмотрении энергии деформации системы.
Рис. 114.
Метод этот, как мы дальше увидим, применим для решения не только данной сравнительно простой задачи, но дает возможность находить приближенные решения вопросов устойчивости в более сложных случаях, например в случае пластинок с заделанными краями и пластинок, подкрепленных жесткими ребрами.
Плоская форма равновесия пластинки, находящейся под действием усилий 
будет устойчива, пока ей соответствует минимум потенциальной энергии.
Если на всяком возможном отклонении пластинки от плоской формы равно весия приращение потенциальной энергии деформации будет больше, нежели работа усилий 
которую они совершат вследствие смещения краев при изгибе пластинки, то плоская форма устойчива. В противном случае она будет неустойчивой.
Если через V обозначим энергию изгиба, соответствующего весьма малому отклонению пластинки от плоской формы равновесия, и через 
работу усилий 
при этих отклонениях, то критические значения сжимающих усилий могут быть найдены из условия
В случае опертых краев общее выражение для отклонений пластинки от плоской формы представится выражением
Общее выражение для потенциальной энергии изгиба на основании формулы (208) может быть представлено в таком виде:
Подставив сюда вместо 
принятый нами для пластинки прогиб (b), получим для левой части уравнения (а) такое значение:
Для работы усилий 
легко составим общее выражение, если примем во внимание, что сближение двух соответствующих точек, лежащих на сторонах 
или 
зависимости от искривления пластинки, представляется так:
Следовательно,
Подставляя это выражение в (а), получаем такое условие для определения критических значений сжимающих усилий:
