§ 31. Об устойчивости плоской формы изгиба полосы с круговой осью

Если полосу прямоугольного поперечного сечения с начальным искривлением по дуге круг» радиуса изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то при некоторых предельных значениях изгибающих нагрузок мы встретимся с таким же явлением неустойчивости плоской

формы изгиба, как и в случае полосы с прямой осью. Рассмотрим здесь простейший пример, когда изгиб производится двумя равными и прямо противоположными парами сил (рис. 69). Предположим, что закрепление концов не допускает вращения концевых поперечных сечений относительно концевых касательных к оси полосы. Вращение концевых сечений относительно главных осей инерции может происходить совершенно свободно. При составлении дифференциальных уравнений равновесия для выпучивающейся из плоскости кривизны полосы воспользуемся системой осей которые мы ввели, когда рассматривали общий случай изгиба кругового кольца (§ 19). Перемещения любой точки в направлении осей обозначим, как и прежде, через угол поворота плоскости xz относительно через (5 (рис. 69, в). Момент всех сил, приложенных к левой половине полосы, представится вектором (рис. 69, б), имеющим направление оси Проекции этого вектора на оси построенные в точке находятся из геометрических соображений и представляются такими формулами:

Рис. 69.

Пользуясь теперь формулами (97) и (98) и принимая во внимание значение начальной кривизны приходим к таким дифференциальным уравнениям:

Исключая из первого и третьего уравнений, приходим к такому уравнению для

При равном бесконечности, уравнение это совпадает с тем, которое мы имели для чистого изгиба полосы с прямой осью [§ 28] К Вводя для краткости обозначение

получаем Так как обращается в нуль при и при то, следовательно,

Последнее уравнение дает нам возможность определить Наименьший корень этого уравнения будет откуда, принимая во внимание обозначение (с), получаем для уравнение

Следовательно,

Положив в этом выражении придем к формуле

При малых значениях 7, т. е. если ось полосы обладает малым начальным искривлением, полученный результат (135) дает возможность для оценки влияния этого искривления составить такую приближенную формулу:

Знак «плюс» соответствует направлению моментов, увеличивающему начальную кривизну полосы, знак «минус» соответствует моментам противоположного направления. Следовательно, начальное искривление оси полосы несколько увеличивает ее устойчивость в отношении моментов, взятых на рис. и уменьшает устойчивость при моментах противоположного направления.

Постепенно увеличивая 7, мы можем достигнуть значения чему соответствует полоса, изогнутая в полукруг. При этом одно из значений определяемых формулой (135) обращается в нуль. Такой результат соответствует возможности вращения полосы без деформаций вокруг диаметра, являющегося общей главной осью инерции для обоих концевых сечений полосы.

При оба значения получаемые из (135), положительны, и для разыскания отрицательного значения нужно обратиться к высшим формам равновесия, соответствующим дальнейшим корням уравнения (d).

Если полоса, имеющая начальное искривление по дуге круга, заделана в сечении А и изгибается силой приложенной на свободном конце В и направленной по касательной к оси полосы (рис. 70), то искривленная форма выпучившейся полосы может быть, как и в предыдущем случае, определена при помощи перемещений отнесенных к осям и угла , составляемого плоскостью xz системы с плоскостью

Таблица косинусов углов, составляемых осями с соответствующей системой напишется так:

Рис. 70.

Выражения для моментов силы относительно осей построенных в какой-либо точке оси полосы, могут быть составлены при помощи приведенной таблицы косинусов. Они напишутся так:

Здесь через и» обозначен прогиб в направлении конца В выпучившейся подоен. На основании (97) и (98) составляем нужные нам дифференциальные уравнения равновесия для искривленной формы:

Если взять полосу, представляющую четверть круга, то и уравнения равновесия перепишутся так:

Решение этих уравнений в замкнутой форме нам не известно. Определение критического значения силы может быть найдено приближенным способом.