§ 39. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце

В этом случае напряжения будут зависеть не только от но и от 0, поэтому для разыскания соответствующей функции напряжений нам нужно обратиться к основному уравнению

Возьмем частное решение этого уравнения в такой форме:

где неизвестная пока функция одного Вставляя это решение в уравнение (а), получаем для определения обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

легко приводящееся к уравнению с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (с) напишется так:

Определив таким образом из выражения (b) для функции напряжений находим путем дифференцирования составляющие напряжения:

Чтобы получить случай изгиба части кругового кольца силами, приложенными по концам, нужно подобрать произвольные постоянные общего решения (68) так, чтобы напряжения как на внутреннем, так и на наружном круговом очертании бруска обращались в нуль. Для этого нужно удовлетворить уравнениям из которых находим Вставляя это в выражение (68), получаем для напряжений формулы

Рис. 31.

Рассмотрим частный случай, когда изгибающая сила имеет радиальное направление (рис. 31). Отсчитывая от радиуса, совпадающего с линией действия силы, будем иметь в сечении Следовательно,

Касательные усилия, распределенные по сечению должны приводиться к силе Таким образом, для определения постоянной а мы получаем уравнение

откуда

Вставляя значение а в выражения (68), получаем формулы для вычисления напряжений в рассматриваемом случае. Если взять часть кольца, соответствующую углу в 90°, и закрепить ее, как указано на рис. 31, то наибольшие нормальные напряжения будут иметь место в плоскости закрепления при Для соответствующего сечения будем иметь

Распределение нормальных напряжений по высоте сечения как видно из полученной формулы, не следует ни линейному, ни гиперболическому законам, получаемым в элементарной теории изгиба на основании известных гипотез. Для сравнительной оценки результатов двух общепринятых способов расчета с результатами, получаемыми на основании решения (68), приводим

значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений 00, действующих по сечению вычисленные тремя различными способами (табл. 2). Вычисления выполнены для случая Как и в случае чистого изгиба, гипотеза плоских сечений дает здесь результаты, весьма близкие к точному решению.

Мы рассмотрели случай, когда изгибающая сила имеет радиальное направление. Легко обобщить наше решение на случай любого направления силы

Таблица 2 (см. скан)

По поперечному сечению составляющему с линией действия силы угол будут действовать как касательные, так и нормальные напряжения. Суммируя касательные усилия, получим значение поперечной силы в рассматриваемом сечении. Нормальные усилия по тому же сечению могут быть приведены к одной силе, приложенной в центре тяжести рассматриваемого сечения, и к паре сил. Отбрасывая часть бруска и заменяя ее действие на остающуюся часть упомянутыми выше силами и парой сил, мы получаем распределение напряжений для случая изгиба бруска силой и парой сил, приложенными на конце. Мы знаем напряжения вызываемые изгибающей парой сил (§ 38). Отбрасывая их, получаем распределение напряжений при действии силы, приложенной на конце бруска, причем угол, составляемый этой силой с концевым поперечным сечением определяется величиной .