§ 51. Условия на контуре пластинки

Задача об изгибе пластинки сводится, как мы видели, к решению дифференциального уравнения

При интегрировании этого уравнения возникает вопрос о тех условиях, которым должна удовлетворять функция на контуре пластинки. Как, в самом деле, запишутся эти условия при различных способах закрепления краев пластинки? В дальнейшем нам придется иметь дело главным образом с прямоугольными пластинками, поэтому для упрощения составим граничные условия для в случае прямоугольного контура.

Особенно просто граничные условия напишутся для заделанного края. Для точек этого края прогиб должен равняться нулю и плоскость, касательная к искривленной поверхности пластинки, должна быть параллельна первоначальному направлению срединной плоскости пластинки. Если, например, край прямоугольной пластинки, совпадающий с осью х (рис. 93), заделан, то граничные условия для этого края напишутся так:

Рассмотрим теперь условия для опертого края. Опертый край при «изгибе пластинки может свободно поворачиваться, но прогибы по такому краю должны равняться нулю. Предположим, например, что край пластинки, совпадающий с осью у, оперт. Принимая во внимание, что свободное поворачивание этого края предполагает отсутствие изгибающих моментов напишем соответствующие граничные условия таким образом:

Несколько более сложно решается вопрос о граничных условиях на свободном крае пластинки. Предположим, например, что край пластинки (рис. 93) совершенно свободен.

В общем случае все усилия по этому краю могут быть приведены к непрерывному распределению изгибающих моментов скручивающих моментов и перерезывающих сил Вполне естественно положить для свободного края

Таким образом, вместо двух граничных условий, которые мы имели в случае опертого и заделанного краев, здесь получаются три условия В таком виде граничные условия были установлены С. Пуассоном, который первым, после появления работ Софи Жермен, занялся строгим обоснованием основного уравнения (а) для изогнутой поверхности пластинки. Значительно позднее Кирхгоф 2 показал, что два последних условия (b) не могут быть удовлетворены одновременно и что они сводятся к одному. Существо этого вопроса может быть выяснено путем следующих элементарных соображений. Положим, что (рис. 94) представляет собой свободный край пластинки. Выделим из него по длине бесконечно малый элемент ширины заштрихованный на рисунке. Скручивающий момент, приходящийся на выделенный элемент, будет равен На осно вании принципа Сен-Венана можно утверждать, что величина напряжений в точках пластинки, удаленных от выделенного элемента, не зависит от способа осуществления пары сил Мы можем, не вызывая перераспределения напряжений внутри пластинки, непрерывно распределенные касательные усилия, дающие момент заменить парой сосредоточенных сил, причем направление этих сил выбрать совершенно произвольно.

Рис. 93.

Рис. 94.

Направим эти силы перпендикулярно к срединной плоскости по линиям, ограничивающим выделенный элемент края пластинки. Соответственно принятому нами ранее обозначению (см. рис. 89) направление этих сил будет такое, как указано на рис. 94, и так как плечо пары принято равным то каждая из сил будет равна т. е. интенсивности скручивающего момента в рассматриваемом месте. Переходя от рассмотренного элемента к соседнему, ограниченному на рисунке пунктирной линией, можем произвести здесь такую же замену распределенных усилий парой сил. Но при этом нужно иметь в виду, что интенсивность скручивающих моментов вдоль края пластинки, вообще говоря, изменяется, поэтому мы для нового выделенного элемента получим силы, равные

По линии разграничивающей два рассмотренных элемента края пластинки» будут действовать, таким образом, две прямо противоположные силы и нам в дальнейшем придется считаться лишь с их разностью. Если представить себе весь край пластинки разделенным на бесконечно узкие

элементы шириной и произвести для каждого элемента такое преобразование усилий, как это мы сделали выше, то мы получим по всем линиям, разграничивающим наши элементы, усилия Таким образом, непрерывное распределение скручивающих моментов на основании принципа Сен-Венана заменяется непрерывным распределением перерезывающих сил интенсивности

Присоединяя эти силы к силам получаем в случае свободного края вместо двух последних условий (b) одно такое условие:

Выражая условия на свободном крае в зависимости от при помощи формул (198), (205) и (207), получаем

Производя описанную выше замену моментов непрерывно распределенными перерезывающими усилиями интенсивности мы должны остановиться на крайних элементах рассматриваемого края, прилегающих к углам пластинки. Очевидно, в каждом из этих двух элементов одна из сил пары останется неуравновешенной, поэтому мы в результате нашего преобразования кроме непрерывно распределенных перерезывающих сил получим еще две сосредоточенные силы (рис. 95), приложенные в вершинах пластинки. Совершенно таким же образом для края кроме непрерывно распределенных перерезывающих усилий интенсивности

получим у вершин сосредоточенные силы (рис. 95).

Рис. 95.

Если для вершин пластинки сосредоточенные силы приведутся к системе, представленной на рис. 96. Стрелками указаны направления сил, соответствующие положительным значениям Для большей ясности рассмотрим направления этих сил для какого-либо частного случая. Возьмем, например, изгиб квадратной пластинки равномерно распределенной нагрузкой. Края пластинки будем считать опертыми. Для выяснения направлений сосредоточенных сил, появляющихся при изгибе в вершинах пластинки, нет надобности иметь уравнение для изогнутой поверхности пластинки. Достаточно иметь лишь общее представление о виде этой поверхности. Если равномерная нагрузка направлена параллельно оси z, то сечения искривленной срединной поверхности пластинки плоскостями, параллельными координатным плоскостям будут иметь вид, представленный на рис. 97. Прогибы, соответствующие этим сечениям, очевидно, будут тем меньшими, чем ближе сечение к соответствующей стороне контура. На основании этих общих данных мы можем установить знак второй производной для какой-либо точки А, взятой у вершины

Р прямоугольной пластинки. Первая производная для этой точки отрицательна и по абсолютному значению равна тангенсу угла, составляемого касательной к сечению в точке А с плоскостью контура пластинки. Если мы будем приближать точку А к вершине то вследствие уменьшения кривизны соответствующего ей сечения отрицательная по знаку производная будет убывать по абсолютному значению, следовательно, производная положительна.

Рис. 96.

Рис. 97.

На основании формулы (205) заключаем, что И в точке отрицательно, и соответствующая сосредоточенная сила будет иметь направление, противоположное тому, которое взято на рис. 96. Путем совершенно таких же рассуждений можем убедиться, что у вершины вторая производная отрицательна. Следовательно, положительно и соответствующая сосредоточенная сила будет направлена так, как указано на рис. 96. Повторяя рассуждения для всех вершин квадратной пластинки, найдем, что сосредоточенные у вершжн силы представляют систему, указанную на рис. 98. Все силы направлены вниз и прижимают вершины изгибаемой пластинки к контуру.

Опыты над изгибом квадратной пластинки с опертыми краями под действием равномерной нагрузки показывают, что вершины пластинки при изгибе имеют тенденцию приподыматься, и, чтобы получить непрерывное соприкасание краев пластинки с контуром, необходимо приложить в вершинах сосредоточенные силы, представленные на рис. 98.

Рис. 98.

Сосредоточенные силы, которые мы получали при замене моментов соответствующим распределением перерезывающих сил, являются следствием изломов в контуре пластинки. Если контур пластинки представляет собой плавную кривую, мы получим лишь непрерывное распределение перерезывающих сил интенсивности где .5 — элемент дуги контура.

В тех случаях, когда постоянно по всему контуру, производная обращается в нуль. Следовательно, такое распределение скручивающих моментов не вызывает в пластинке деформаций. Мы исключаем при этом, конечно, части пластинки, лежащие непосредственно у контура, где придется иметь дело с местными напряжениями и деформациями.

Для одного частного случая, именно для прямоугольной пластинки, мы можем без всякого затруднения исследовать как общий изгиб, гак и местные деформации пластинки под действием равномерно распределенных по контуру моментов Для этого воспользуемся решением Сен-Венана для кручения призм прямоугольного поперечного сечения. Прямоугольную пластинку мы можем рассматривать как предельный случай такой призмы, когда одна из сторон прямоугольного сечения весьма мала по сравнению с другой. Рассмотрим сначала кручение пластинки моментами, приложенными по краям, параллельным оси х (рис. 99). Распределение касательных напряжений по этим краям возьмем таким же, как это получается из решения Сен-Венана для поперечных сечений скрученной призмы (см.

настоящее издание). Для точек какой-либо линии удаленной от вершин пластинки, касательные напряжения с большой точностью можно принимать параллельными срединной плоскости и пропорциональными расстоянию от этой плоскости. Совокупность всех этих напряжений дает лишь половину скручивающего момента. Другая половина этого момента состоит из напряжений, возникающих непосредственно у вершин пластинки от сосредоточенных сил (рис. 99). Таким образом, распределение напряжений в пластинке, если исключить части, лежащие в непосредственной близости от краев, параллельных оси получается весьма простым. Отличными от нуля будут лишь напряжения для которых справедлива формула

где через обозначен угол закручивания пластинки на единицу длины.

Для напряжений у краев имеем решение Сен-Венана в форме бесконечных рядов § 51 части первой].

Совершенно таким же образом можно найти напряжения при скручивании пластинки моментами, распределенными по краям, параллельным оси у. Выберем эти моменты такими, чтобы те силы, к которым приводятся касательные усилия у вершин пластинки, были равны по величине и противоположны по направлению силам найденным выше. Тогда напряжения, вызываемые этими моментами, будут такие:

Исключение составляют части пластинки, лежащие непосредственно у краев, параллельных оси х. Здесь более сложный закон распределения напряжений представляется решением Сен-Венана. Налагая друг на друга напряженные состояния, соответствующие двум рассмотренным выше скручиваниям, из сравнения формул заключаем, что пластинка в этом случае окажется в общем не напряженной и лишь вблизи контура будут действовать касательные напряжения, которые легко вычисляются при помощи решения Сен-Венана.

Рис. 99.

Мы рассмотрели три основные способа закрепления краев пластинки (заделанный, опертый и свободный край) и нашли соответствующие граничные условия для функции На практике приходится встречаться и с другими, промежуточными способами закрепления. Например, встречается такое закрепление края пластинки, когда прогиб по краю невозможен, поворачивание же края возможно, но сопровождается появлением изгибающих моментов, пропорциональных повороту. Таким образом получается упруго заделанный край. Иногда край пластинки опирается не на жесткий контур, а на какую-либо балку, прогибающуюся под действием приходящихся на нее давлений. В таком случае получим упруго опертый край. Возможны, конечно, и другие способы закрепления. Составление граничных условий для всех этих случаев, на основании того, что было выше сказано для трех основных способов закрепления, не представит никаких затруднений. Если, например, край пластинки (см. рис. 93) упруго заделан, то соответствующие граничные условия напишутся так:

Коэффициентом х характеризуется жесткость заделки края. Составим теперь граничные условия для того случая, когда край пластинки опирается на балку жесткости

При изгибе пластинка будет производить на балку неперерывно распределенные давления, а балка в свою очередь будет оказывать на край пластинки равные и прямо противоположные этим давлениям реакции. Реакции эти

составятся из перерезывающих сил и из сил , заменяющих действие скручивающих моментов Следовательно, балка, поддерживающая край пластинки, окажется загруженной сплошной нагрузкой интенсивности

Пользуясь дифференциальным уравнением (4) для изогнутой оси балки, напишем искомое граничное условие таким образом:

Второе условие при свободном поворачивании рассматриваемого края напишется так:

Если же упруго опертый край вовсе не может поворачиваться, то в таком случае будем иметь

Без всяких затруднений может быть написано граничное условие и в том случае, когда поворачиванию края препятствует упругое закрепление.