§ 47. Влияние начальной кривизны на изгиб пластинок по цилиндрической поверхности

Рассмотрим теперь, как изменяется напряжение в пластинке, если она имеет некоторую начальную кривизну по цилиндрической поверхности. Предполагая начальное искривление балки-полоски по синусоидальной кривой

мы на основании результатов, полученных для стержня [формула (79)], придем к такому уравнению для определения продольной силы в случае пластинки со свободно поворачивающимися краями:

откуда после простых преобразований получаем

Полагая приходим к такому кубическому уравнению:

где

В тех случаях, когда начальный прогиб весьма мал и коэффициент а в нашем уравнении получает отрицательное значение, мы будем иметь один действительный положительный корень. При положительных значениях а кроме положительного корня наше уравнение может иметь еще два отрицательных корня и мы здесь встретимся с наличием нескольких форм равновесия, соответствующих одной и той же поперечной нагрузке, и с вопросом устойчивости этих форм.

Когда начальный прогиб имеет положительное значение, т. е. когда искривление направлено в ту же сторону, куда действует и поперечная нагрузка, нет никакого сомнения относительно того, какая именно форма равновесия будет иметь место. Очевидно, приложение поперечной нагрузки вызовет дальнейший прогиб пластинки, и кроме напряжений изгиба появятся растягивающие напряжения от продольных сил.

Исследование всех обстоятельств изгиба проведем на численном примере. Для более удобной оценки влияния начальной кривизны удобно взять пластинку прежних размеров (§ 46) и только придать ей начальное искривление. Возьмем начальный прогиб см и поперечную нагрузку Тогда наше кубическое уравнение представится в таком виде:

По линейке отсчитываем положительный корень этого уравнения: Отрицательных корней уравнение не имеет, и мы будем иметь лишь одну форму равновесия, которая как единственная будет, конечно, устойчива. Найдя корень уравнения, мы сейчас же получаем

Растягивающие напряжения продельной силы будут такие:

Грогяб посередине представится так:

Для получения напряжений изгиба мы воспользуемся тем обстоятельством, что прогиб, а следовательно и кривизна, могут быть представлены в виде двух слагаемых: первое слагаемое соответствует изгибу прямого стержня, вторым оценивается влияние начальной кривизны. При вычислении изгибающего момента по середине пролета мы первое слагаемое найдем при помощи таблицы значений функции (см. табл. 2, части второй). Что касается второго слагаемого, то при начальном искривлении по синусоиде дополнительный прогиб, обусловленный этим искривлением, будет

Соответствующий ему момент по середине пролета равен

Эту величину нужно прибавить к той, которую мы получаем для прямой балки-полоски. Так как величина эта отрицательна, то, следовательно, при положительных значениях начальное искривление уменьшает напряжения изгиба и полные напряжения получаются

меньшими, чем для неискривленной пластинки. В табл. 23 мы помещаем результаты, относящиеся к нагрузкам Такие же вычисления проделаны и для пластинки с начальным прогибом см (табл. 24).

Таблица 23 (см. скан)

Таблица 24 (см. скан)

Здесь через обозначены максимальные напряжения изгиба, вычисленные как для прямой балки-нолоски; через напряжения изгиба, обусловленные начальным искривлением; наконец, через полные наибольшие напряжения по середине пролета. Сравнивая эти результаты с соответствующими числами табл. 21 (§ 46) для неискривленной пластинки, находим, что начальное искривление несколько уменьшило продольную силу, значительно уменьшило прогиб и напряжения изгиба. В смысле напряжений такое начальное искривление является выгодным. Особенно велико влияние начального искривления при малых нагрузках, когда элементарная балка-полоска по условиям работы весьма близка к гибкой нити. При больших нагрузках разница между прямой и слегка искривленной балкой-полоской должна постепенно сглаживаться.

В рассмотренных случаях, когда направление начального прогиба совпадает с направлением нагрузки, форма равновесия, которую примет балка-полоска, будет соответствовать положительному значению хотя для некоторых значений нагрузки паше основное уравнение (193) может давать для и отрицательные решения. Например, при см и мы кроме положительного решения для приведенного в табл. 24, получим еще два отрицательных решения: которым будут соответствовать формы равновесия с отрицательными прогибами. Обе эти формы, вероятно, будут неустойчивы.

Рассмотрим теперь случай, когда поперечная нагрузка отсутствует. Полагая в основном уравнении мы придем к уравнению, одно из решений которого будет Этому решению соответствует недеформированное состояние нашей балки полоски.

Кроме этого решения, в том случае, когда мы получим еще два действительных отрицательных решения для Эти решения указывают на то, что нашу балку-полоску можно перегнуть в сторону, противоположную начальной кривизне, и держать в таком состоянии при помощи продольных сжимающих сил. Силы эти будут больше эйлеровой.

Рассмотрим теперь случай, когда направление действия нагрузки противоположно направлению начального искривления. В таком случае и будут иметь противоположные знаки. Основное кубическое уравнение (193) остается в силе и изменяется лишь величина постоянного члена с. Возьмем пластинку прежних размеров, придадим ей начальную кривизну по синусоиде с амплитудой и приложим равномерную нагрузку интенсивности Так как направление нагрузки противоположно направлению начального прогиба, то будем иметь см, и кубическое уравнение напишется так: откуда находим ;

Под влиянием приложенной нагрузки наша пластинка прогнется в сторону, противоположную начальному искривлению. Определение возникающих при этом напряжений изгиба не представляет, конечно, никаких затруднений. Величина их в рассматриваемом случае, очевидно, будет значительно большей, чем при положительном значении так как роль продольной силы при малом значении невелика. Если мы увеличим интенсивность нагрузки и положим, например, то найдем, как и в предыдущем случае, лишь одно действительное решение для нашего кубического уравнения, именно

При малых зпачениях мы кроме одного положительного корня будем получать еще два отрицательных корня для нашего кубического уравнения, что указывает на возможность существования трех различных форм равновесия. Возьмем, например, тогда кубическое уравнение напишется так: Корни этого уравнения такие: Соответственно этому получаем: .

Прогибы для соответствующих форм равновесия будут иметь значения

Первой форме равновесия соответствует искривление в направлении, прямо противоположном начальной кривизне. Вторая и третья формы равновесия имеют искривления в ту же сторону, что и начальный прогиб, причем третьей форме, как наиболее пологой, соответствует наибольшее значение продольной сжимающей силы.

Когда выделенная балка-полоска, имеющая некоторое начальное искривление, испытывает продольные усилия не только вследствие изгиба поперечной нагрузкой, но и вследствие приложенных извне усилий (см. рис. 85), то для определения можно составить уравнение, аналогичное уравнению (192).

Останавливаясь на случае опертых краев, предполагая начальное искривление по синусоиде

и сохраняя наши прежние обозначения

мы приходим к такому уравнению:

Если положить то уравнение это совпадет с уравнением (192), полученным для прямолинейной балки-полоски. После простых преобразований оно может быть представлено в таком виде:

и легко решается при помощи логарифмической линейки.

Если длинная прямоугольная пластинка с начальным искривлением по синусоиде имеет упругие распоры, препятствующие свободному сближению опертых продольных краев пластинки, то продольные усилия возникающие в элементарной балке-полоске под действием только сил могут быть легко найдены из того же уравнения (195), если в нем положить

В таком случае будем иметь

Когда величины начального прогиба 6, растягивающего напряжения и размеры пластинки известны, то из написанного уравнения легко определяется величина величина продольной силы и соответствующее ей растягивающее напряжение Напряжение это вследствие начального искривления пластинки всегда получается по абсолютному значению меньшим, чем извне приложенное напряжение и тем меньше, чем больше начальный прогиб При больших начальных искривлениях продольные силы будут восприниматься, главным образом, упругими распорами пластинки. Это обстоятельство имеет существенное практическое значение и потому в табл. 25 приводим ряд числовых значений отношения вычисленных при различных значениях величин:

Когда приходится рассчитывать на простое растяжение листовые настилы, подкрепленные продольными и поперечными жесткими ребрами, то при вычислении продольных растягивающих напряжений в ребрах и листах нужно считаться с возможными начальными искривлениями листов. Принимая это начальное искривление изменяющимся по синусоиде, мы для оценки напряжений в листах можем воспользоваться числами табл. 25.

Таблица 25 (см. скан)

Участие листов в растяжении будет тем меньшим, чем больше начальное искривление, и нам при подсчете растягивающих напряжений в подкрепляющих

ребрах придется вместо полной площади поперечного сечения листов брать некоторую приведенную площадь, получаемую умножением сечения листов на соответствующий коэффициент из табл. 25. С увеличением растягивающих напряжений влияние начального искривления падает и коэффициенты таблицы приближаются к единице.

Когда вместо растягивающих имеются сжимающие напряжения то коэффициенты таблицы быстро убывают с увеличением этих напряжений, так как сжимающее напряжение в листе не может получить значений, больших критического.