§ 26. Напряжения линейно зависят от координат

В качестве примера рассмотрим напряженное состояние, определяемое следующими значениями составляющих напряжения:

где ускорение, соответствующее силе тяжести.

Чтобы дифференциальные уравнения равновесия

были удовлетворены, нужно положить Следовательно, взятое нами напряженное состояние (а) может возникнуть в упругом теле при действии силы тяжести (ось z предполагается направленной вертикально вверх)

Рассмотрим теперь, каковы должны быть усилия, приложенные по поверхности тела, чтобы напряженное состояние (а) имело место. Искомые усилия мы найдем из условий на поверхности:

При принятом распределении напряжений (а) найдем: по поверхности тела должны быть распределены усилия, имеющие направление оси z, причем интенсивность этих усилий пропорциональна косинусу угла, составляемого нормалью к поверхности тела в рассматриваемой точке с осью z.

Если тело представляет собой цилиндр, высота которого равна I (рис. 6) и образующие параллельны оси z, то для боковой поверхности обращается в нуль, следовательно, равны нулю и соответствующие поверхностные усилия. Для верхнего основания поверхностные усилия равномерно распределяются по этому основанию и интенсивность их равна По нижне основанию, где поверхностные силы равны нулю.

Таким образом, взятое нами напряженное состояние (а) представляет собой распределение напряжений, возникающих в цилиндре под действием силы тяжести, когда верхнее сечение цилиндра закреплено. Если бы мы закрепили нижнее основание цилиндра, то вместо растягивающих напряжений получили бы сжимающие напряжения.

Более общее распределение напряжений получим, если предположим, что цилиндр погружен в жидкость и на него кроме собственного веса действует гидростатическое давление.

Рис. 6.

Перейдем к определению перемещений, соответствующих принятому распределению напряжений. Составляющие деформации выразятся через составляющие напряжения следующим образом:

На основании (с) можем написать выражение для

где неизвестная пока функция от х и у. Второе и третье из уравнений (е) перепишем в виде

и получим для перемещений и выражения

где функции только х и у.

Подставляя полученные для выражения в уравнения (d), находим

и так как от z не зависят, то, следовательно,

Подставляя выражения для в первое из уравнений (е), находим

Так как от z не зависят, то должны быть выполнены условия

На основании (h) и (1) можем написать выражения для функций Нетрудно видеть, что мы удовлетворим всем условиям, положив

Искомые перемещения представятся такими формулами:

Шесть произвольных постоянных, которые вошли в выражения для перемещений, соответствуют перемещениям цилиндра как твердого тела. Чтобы устранить возможность поступательного движения, закрепим верхнюю точку оси цилиндра. Возможность вращений будет исключена, если мы закрепим линейный элемент, проходящий через А и совпадающий с осью z, и элементарную площадку, совпадающую с плоскостью (см. формулу (16) § 10). Для определения произвольных постоянных в точке А получим следующие шесть условий:

Рис. 7.

Подставляя вместо найденные выше значения и полагая в них получаем

Следовательно,

Окончательно для перемещений получим выражения

Точки, лежащие на оси цилиндра совершают при деформации лишь вертикальные перемещения:

Другие точки, благодаря поперечному сжатию, сопровождающему продольное растяжение цилиндра, будут совершать не только вертикальные, но также и горизонтальные перемещения. Линии, параллельные оси цилиндра до деформации, становятся после деформации наклонными к этой оси. Вид

деформированного цилиндра в искаженном масштабе представлен на рис. 7. Какое-либо плоское поперечное сечение цилиндра, определяемое уравнением обращается после деформации в поверхность параболоида вращения: