§ 56. Перемещения при изгибе

Кривизна изогнутой оси балки в плоскостях с достаточной точностью определяется величиной вторых производных и величины найдутся из формул

Принимая во внимание, что от z не зависят, и выражая через соответствующее напряжение получаем:

Первоначально прямая ось балки после изгиба становится плоской кривой. Плоскость изгиба совпадает с плоскостью действия силы и кривизна в каждом сечении пропорциональна величине изгибающего момента. Пользуясь выражением для кривизны, находим

Одна из произвольных постоянных интегрирования выбрана так, чтобы перемещение и в закрепленном конце обращалось в нуль. Что касается постоянной то для ее определения необходимо иметь дополнительные данные относительно способа закрепления конца стержня. Если стержень закреплен так, что элемент его оси в месте закрепления остается горизонтальным, то нужно положить

Если закрепление таково, что не поворачивается вертикальный линейный элемент опорного сечения, проходящий через точку закрепления, по постоянная равна сдвигу, соответствующему центру тяжести поперечного сечения (§ 32). На практике величина в большой степени будет зависеть от тех местных напряжений, которые возникают в плоскости заделки и распределение которых может весьма значительно отличаться от того, которое мы нашли выше для различных форм поперечных сечений. Поэтому нельзя дать достаточно надежных формул для вычисления дополнительного прогиба, зависящего от величины т. е. прогиба, обусловленного касательными напряжениями.

Имея выражения для напряжений, мы можем без затруднения (§ 28) составить формулы для перемещений Как и в случае чистого изгиба, контур поперечного сечения благодаря перемещениям и искажается. Кроме того, благодаря касательным напряжениям происходит искривление первоначально плоских поперечных сечений.