Глава I. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С ПРЯМОЙ ОСЬЮ

§ 1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

В первой части данной книги мы привели несколько точных решений, относящихся к изгибу призматических стержней. Из этих решений следует, что при изгибе стержней силами, приложенными по концам, имеет место допущение Бернулли — Эйлера относительно пропорциональности кривизны изогнутой оси стержня величине соответствующего изгибающего момента. Такой результат получается лишь при условии вполне определенного распределения усилий по концевым сечениям изгибаемого стержня. Если это распределение заменить другим, ему статически эквивалентным, то вблизи концов произойдет значительное изменение напряжений и деформаций. В сечениях же, удаленных от концов, эти изменения весьма малы (принцип Сен-Венана), мы можем ими пренебречь и считать справедливым допущение Бернулли — Эйлера. На основании таких же соображений мы можем распространить допущение Бернулли — Эйлера и на случай стержней, изгибаемых несколькими сосредоточенными силами. С большой точностью мы можем считать кривизну вдали от места приложения сил пропорциональной изгибающему моменту.

Когда от изгиба сосредоточенными силами переходим к случаю действия распределенных нагрузок, задача становится более сложной. Точное решение, полученное для изгиба равномерно распределенной нагрузкой показывает, что в этом случае выражение для кривизны составляется из двух членов: пропорционального изгибающему моменту и постоянного члена, обусловленного отчасти влиянием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли — Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой будем пренебрегать и при определении прогибов под действием сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня, будем исходить из уравнения

Здесь соответствующая жесткость стержня; радиус кривизны; изгибающий момент в рассматриваемом сечении стержня. Располагая

координатные оси, как показано на рис. 1, и ограничиваясь случаем малых прогибов, мы можем уравнение (1) заменить таким:

На рисунке указаны стрелками те направления изгибающего момента и перерезывающей силы, которые мы в дальнейшем будем принимать положительными. Дифференцированием из уравнения (2) получаем уравнения

которыми иногда приходится пользоваться при решении технических задач. Здесь через обозначена интенсивность сплошной нагрузки. Положительным направлением этой нагрузки принято направление сверху вниз. Когда поперечные размеры стержня нельзя считать малыми по сравнению с его длиной и желательно получить более точное уравнение для изогнутой оси стержня, нужно в уравнение (2), полученное на основании допущения Бернулли — Эйлера, внести поправку, обусловленную отчасти действием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. В тех случаях, для которых имеются точные решения, часть поправки, соответствующая касательным напряжениям, имеет преобладающее значение. Допустив, что то же самое заключение справедливо для всяких нагрузок и для балок любого сечения, мы можем получить нужную нам поправку к уравнению (2) приближенным способом. Будем исходить из такого выражения для кривизны:

Рис. 1.

Вставляя сюда вместо значение сдвига в центре тяжести поперечного сечения и значения продольных удлинений, определяемых по формулам Сен-Венана

где F - площадь поперечного сечения стержня; модуль упругости при сдвиге и к численный коэффициент, зависящий от формы сечения и упругих свойств материала, приходим к такому дифференциальному уравнению:

Это уравнение приходится брать вместо уравнения (2), когда желательно найти более точное выражение для изогнутой оси стержня. Интегрируя уравнение (2) или (5) и принимая при этом во внимание условия закрепления концов, мы без особых затруднений можем в каждом частном случае найти прогибы стержня и углы поворота отдельных поперечных сечений. Ряд простейших примеров этого рода разобран в курсе сопротивления материалов, и мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением нескольких более сложных задач, относящихся к исследованию изгиба балок, лежащих на упругом основании, и балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия или изгиба и растяжения.

При вычислении напряжений мы будем предполагать, что в сечениях, удаленных от места приложения сил, величина напряжений с достаточной для практики точностью определяется решениями Сен-Венана. У точек приложения сосредоточенных сил возникают местные напряжения, характер распределения которых в случае плоской деформации мы изучили с достаточной полнотой в первой части данной книги. Напряжения эти быстро убывают по мере удаления от точки приложения силы и, как показывают подробные вычисления, произведенные для нескольких частных случаев, мы можем в сечениях, удаленных от места приложения силы на расстояние, большее высоты балки, принимать с достаточной для практики точностью распределение напряжений, соответствующее решению Сен-Венана.

В заключение отметим, что уравнение (2) часто применяют не только к призматическим стержням, но и к стержням переменного сечения. Если сечение изменяется вдоль балки, то, как показывают некоторые точные решения плоской задачи, напряжения и деформации будут мало отличаться от тех, которые получаются для призматических стержней и, следовательно, уравнением (2) можно пользоваться для определения прогибов таких стержней. При этом будет некоторая функция х, что нужно иметь в виду при составлении уравнений, аналогичных уравнениям (3) и (4).

Если стержень составлен по длине из нескольких частей, причем на протяжении каждого участка сечение не изменяется, то уравнение (2) применимо к каждому участку и справедливо для всех точек оси, достаточно удаленных от мест сопряжения участков различных сечений. В переходных сечениях возникают местные напряжения, искажающие закон распределения напряжений и деформаций. Эти местные напряжения быстро убывают по мере удаления от переходных сечений и потому в тех случаях, когда поперечные размеры стержня малы по сравнению с длинами отдельных участков, мы можем, пользуясь уравнением (2), с достаточной точностью определять прогибы стержня.