§ 9. Дифференциальные уравнения равновесия

Для исследования вопроса об изменении напряжений при переходе от одной точки к другой, бесконечно близкой ей точке, рассмотрим условия равновесия бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда (рис. 4).

Когда мы исследовали напряженное состояние в определенной точке тела, можно было пренебречь малыми разностями между напряжением по двум параллельным, близким друг к другу площадкам (см. § 4), а также отбросить объемные силы, приложенные к элементу, как малые величины высшего порядка. Теперь эти малые величины должны быть приняты во внимание. На чертеже обозначены величины напряжений, действующих по граням выделенного элемента, и их положительные направления. При составлении проекций сил, приложенных к элементу, на координатные оси нужно составляющие напряжения множить на площади соответствующих граней элемента и объемную силу — на

объем элемента. Проектируя, например, все приложенные к элементу силы на направление оси х, получаем уравнение

Таким же образом могут быть найдены и два других уравнения. После сокращений эта система уравнений представится в таком виде:

Рис. 4.

Уравнения равновесия, получаемые путем приравнивания нулю моментов всех приложенных к элементу сил относительно координатных осей, будут удовлетворены в силу условий (4).

В тех случаях, когда части упругого тела находятся в движении, например, когда тело при приложении внешних сил начало совершать колебания, нужно к объемным силам присоединить силы инерции. Если через обозначим проекции перемещения какой-либо точки на направления координатных осей, то проекции сил инерции, отнесенных к единице объема, будут

Для случая движения уравнения (14) перепишутся в таком виде:

Уравнения (14) и (15) являются основными дифференциальными уравнениями теории упругости. Всякая задача теории упругости сводится к разысканию таких функций которые удовлетворяли бы уравнениям (14) или (15) в каждой точке рассматриваемого тела и условиям (5) на поверхности. В таком виде задача теории упругости остается пока не определенной. В самом деле, три уравнения (14) или (15) заключают по шести различных величин следовательно, можно подобрать сколько угодно различных распределений напряжений, удовлетворяющих как дифференциальным уравнениям, так и условиям на поверхности. Чтобы из всех возможных (с точки зрения статики) распределений напряжений выбрать то, которое соответствует

действительному состоянию упругого тела, необходимо поступить так, как это всегда делается при исследовании статически неопределимых систем. К уравнениям статики нужно присоединить дополнительные условия, устанавливаемые на основании рассмотрения деформации системы. В том, что не всякая система напряжений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности, возможна в упругом теле, можно убедиться на основании таких соображений. Предположим, что мы данное тело разрезали на бесконечно малые прямоугольные параллелепипеды и к граням каждого такого элемента приложили напряжения, удовлетворяющие уравнениям (14). Под действием этих напряжений и объемных сил все элементы тела будут находиться в равновесии, и мы получим распределение напряжений, возможное с точки зрения статики абсолютно твердого тела. В упругом теле условия иные. Под действием напряжений каждый элемент деформируется, и напряжения должны удовлетворять не только условиям статики, но и некоторым дополнительным условиям. Деформации, вызываемые в отдельных элементах, на которые мы представили себе тело разрезанным, должны быть таковы, чтобы все деформированные элементы можно было сложить вместе и образовать одно непрерывное упругое тело. Можно представить себе такую систему напряжений, при которой уравнения (14) удовлетворены, но соответствующие этим напряжениям деформации таковы, что из отдельных деформированных элементов нельзя составить непрерывное упругое тело; элементы эти после деформации не будут соответствовать друг другу.

Составляющие напряжения входящие в уравнения (14), не представляют собой независимые величины, и задача теории упругости сводится к разысканию трех функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия. В этом убеждаемся на основании следующего.

Напряжения, возникающие в упругом теле при действии внешних сил, вполне определяются теми изменениями формы, которые тело при этом претерпевает. Деформацию же тела можно определить, если для каждой его точки известны проекции ее перемещения на координатные оси. Таким образом, шесть составляющих напряжения, входящие в уравнения (14) и (15), являются функциями трех перемещений

Наша дальнейшая задача заключается в исследовании деформаций упругого тела и в установлении необходимой для решения задач теории упругости зависимости между напряжениями и деформациями.