§ 22. Устойчивость призматического стержня при различных способах закрепления концов
Мы рассмотрели пока случаи продольного изгиба для стержня с одним свободным и другим заделанным концами и стержня с двумя опертыми концами. Для других способов закрепления концов легко найдутся нужные значения критических нагрузок, если воспользоваться решениями для балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия (§ 9). 
— это то значение продольной сжимающей силы, при котором прогибы, вызываемые поперечной нагрузкой, неопределенно возрастают. Возьмем, например, стержень с одним заделанным и другим опертым концами (рис. 43, а). Если к продольной силе присоединить равномерную поперечную нагрузку 
то опорный момент 
представится так [см. формулу (38)]:
где при взятых обозначениях 
Прогиб стержня, а следовательно, и опорный момент 
неопределенно возрастают, если знаменатель выражения (а) обращается в нуль. В таком случае
найдется из уравнения
Первое приближение для корней этого трансцендентного уравнения проще всего найти графически (рис. 44), определив пересечения прямой 
с кривыми 
Рис. 43.
Рис. 44.
Рис. 45.
Наименьший корень уравнения, соответствующий 
будет
тогда
При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:
Критическая нагрузка определится из условия
Здесь а — коэффициент, на который нужно множить 
чтобы получить поворот конца. При 
имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам
При абсолютно заделанных концах 
Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение 
следовательно,
Для всяких промежуточных значений а уравнение (с) также легко решается. Рассмотрим, например, устойчивость сжатых сторон квадрата с жесткими узлами при том условии, что все стержни имеют одинаковую жесткость (рис. 45).
Рис. 46.
Легко видеть, что при искривлении, указанном на рисунке, 
и уравнение (с) принимает вид 
откуда 
Следовательно, 
Без всяких затруднений решается задача и в тех случаях, если для двух концов стержня упругость заделки различна.
