§ 58. Деформация кругового цилиндра

В качестве простейшего примера деформации, симметричной относительно оси, рассмотрим задачу о распределении напряжений в круговом цилиндре, на который действуют поверхностные давления, распределенные симметрично относительно оси цилиндра. В таком случае функция напряжений должка

удовлетворять уравнению (108), заданным условиям на боковой поверхности и условиям на концах цилиндра.

В случае длинных цилиндров особенно существенно удовлетворить условиям на боковой поверхности. Для этой цели выгодно воспользоваться решением уравнения (108) в виде тригонометрического ряда. Решение это, аналогичное решению для длинной прямоугольной полосы (§ 35), даст возможность разы екать напряжения при любом симметричном распределении нормальных и касательных напряжений по боковой поверхности цилиндра. Очевидно, что всякое решение уравнения

будет в то же время и решением уравнения (108). Будем искать эти решения в такой форме:

где функция только длина цилиндра. Вставляя (b) в уравнение (а), получаем для определения такое обыкновенное дифференциальное уравнение:

Интеграл этого уравнения будем искать в виде бесконечного ряда

Вставляя этот ряд в уравнение (с) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях находим следующую зависимость между последовательными коэффициентами ряда Следовательно, интеграл уравнения (с) представится в виде такого бесконечного ряда:

Заключенная в скобки сумма бесконечного ряда представляет собой известную функцию Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента Мы в дальнейшем будем обозначать ее через Для этой функции имеются таблицы 2, при помощи которых легко определяется значение функции для данного значения Найдя интеграл уравнения (с), мы получим решения уравнения (а), а следовательно, и уравнения (108) в таком виде:

Кроме решений, общих с уравнением (а), уравнение (108) имеет еще и другие решения. Одно из этих решений мы можем выразить через функцию Бесселя первого порядка, связанную с таким соотношением:

Произведя над функцией

операцию получим, как легко убедиться, выражение Так как представляет собой интеграл уравнения (с), то, следовательно, будет удовлетворять уравнению

и мы можем второй интеграл уравнения (108) представить в таком виде: Окончательно примем для функции напряжений выражение

Рис. 86. Вставляя это в выражения для напряжений (106), получаем Здесь для краткости обозначены через функции, выражающиеся через При помощи таблиц для функций Бесселя легко вычислить для всякого значения и определить соответствующие значения Положив наружный радиус цилиндра равным а и вычислив значения получим для боковой поверхности цилиндра

т. е. выбранная нами функция напряжений (е) соответствует тому случаю, когда нормальные напряжения вдоль образующей цилиндра изменяются по закону а касательные — по закону Интенсивности как тех, так и других напряжений можно придать любое значение надлежащим выбором постоянных и Полагая, например, получаем распределение напряжений для случая, когда по боковой поверхности цилиндра распределены лишь нормальные напряжения интенсивности

Так же точно можем изучить действие на цилиндр касательных усилий интенсивности Меняя на мы получим для уравнения (108) решение

которому будет соответствовать распределение по боковой поверхности нормальных напряжении, изменяющихся по закону и касательных напряжении, изменяющихся по закону Наложением решений вида мы можем удовлетворить условиям на поверхности цилиндра при любом симметричном распределении поверхностных усилий.

В заключение приводим результаты вычислений, произведенных Файлоном для цилиндра, представленного на рис. 86. Цилиндр растягивается касательными усилиями, равномерно распределенными по заштрихованной части боковой поверхности. Особый интерес представляет распределение нормальных напряжений по различным поперечным сечениям цилиндра.

Таблица 5 (см. скан)

Отношения этих напряжений к тому среднему растягивающему напряжению, которое получается от деления полной растягивающей силы на площадь поперечного сечения, приведены в табл. 5.

Мы видим, что растягивающие напряжения у поверхности цилиндра быстро падают по мере удаления от места приложения сил и приближаются к среднему значению растягивающих напряжений.