§ 39. Свободные поперечные колебания стержня при различных способах закрепления концов

Для определения частоты различных типов колебаний и соответствующих форм искривления оси стержня приходится, как было видно, обратиться к условиям закрепления на концах стержня. При помощи этих условий возможно найти соотношение между произвольными постоянными в общем выражении (171) для нормальных функций X и составить то трансцендентное уравнение, из которого находятся частоты различных типов собственных колебаний.

Особенно простой вид нормальные функции имеют в случае стержня с опертыми концами. Условия на концах в этом случае будут такие;

Из условий (а) и (b) следует, что в общем решении Из условий заключаем, что

Следовательно, где

Для частот различных типов колебаний получаем значения

Соответствующие периоды колебаний будут иметь такие значения:

Период колебаний для стержня из заданного материала будет, следовательно, пропорционален квадрату длины в обратно пропорционален радиусу инерция поперечного сечения

Формы искривлений при различных типах собственных колебаний определятся выражениями для соответствующих нормальных функций;

Первому типу колебаний соответствует искривление стержня по синусоиде с одной полуволной Для второго типа колебаний будем иметь две полуволны — по середине пролета получается точка перегиба Третьему типу колебаний соответствует подразделение стержня на три полуволны и т. д.

В самом общем виде свободные колебания для рассматриваемого случая могут быть представлены так [см. формулу (172)]:

Коэффициенты определяются из начальных обстоятельств.

Предположим, что начальное искривление и начальное значение скорости задано таким образом:

Полагая в выражении (е), что получаем

Для получения коэффициентов поступаем по известному правилу: умножаем обе части равенства на и интегрируем в пределах При этом все члены бесконечного ряда, кроме члена с коэффициентом А и пропадают и мы получаем

следовательно,

Для получения коэффициентов составляем производную по времени от выражения (е) и полагаем в ней тогда получим

откуда находим

Предположим, например, что в начальный момент стержень не искривлен и посредством удара участку стержня весьма малой длины расположенному на расстоянии с от левой опоры, сообщена начальная скорость В таком случае Что касается функции то она обращается в нуль во всех точках, кроме точки соответствующей месту удара, где

На основании заключаем, что все коэффициенты обращаются в нуль. Для коэффициентов из выражения (h) получаем

Следовательно, колебания стержня, которые при этом возникают, представятся так:

Если удар произведен по середине пролета, то и мы будем иметь

В этом случае возникнут лишь колебания с нечетным числом полуволн. Члены полученного ряда быстро убывают, так как пропорционально

Рассмотрим теперь, как влияют силы инерции, соответствующие повороту сечений, и касательные напряжения на период собственных колебаний стержня с опертыми концами. Для этого обратимся к уравнению (178). Разделив его на величину и обозначив через радиус инерции поперечного сечения, получим

Для у сохраняются на концах такие же условия, как и в предыдущем случае когда мы пользовались менее точным уравнением (168). Тип колебаний порядка представится так:

Подставляя это выражение в уравнение получаем для определения частоты колебаний уравнение

Если взять лишь первых два члена уравнения, то можно получить для частоты прежнее значение

Через X обозначена длина тех полуволн, на которые стержень подразделяется при колебаниях.

Взяв три первых члена уравнения (1), тем самым введем поправку на влияние сил инерции, соответствующих повороту сечений. Считая эту поправку малой величиной, найдем

Величина поправки, как видим, возрастает с уменьшением X, т. е. с увеличением числа волн, на которые подразделяется стержень при колебаниях. Если взять стержень прямоугольного сечения и предположить, что X в десять раз больше высоты сечения, то величина поправки составит несколько больше 4%. Чтобы оценить влияние касательных сил, нужна обратиться к полному уравеению (1). Подставляя в последний член этого уравнения вместо его первое приближение легко показать, что при малых значениях величины этот член представляет собой малую величину второго порядка. Отбрасывая его, находим для выражение:

Для прямоугольного сечения можно положить кроме того, следовательно,

Поправка на касательные напряжения в 4 раза больше поправки на силы инерции вращения.

Рассмотрим колебания стержня со свободными концами. В этом случае будем иметь такие граничные условия:

Чтобы удовлетворить первым двум условиям, нужно в общем выражении (171) для нормальных функций положить В таком случае

Условия на другом конце стержня дают нам два таких уравнения:

Эти уравнения могут дать для решения, отличные от нуля, лишь в случае, если определитель их обращается в нуль, т. е. если соблюдено условие

или, принимая во внимание, что

получаем

Рис. 77.

Это и будет нужное нам трансцендентное уравнение для определения частоты различных типов собственных колебаний. Определив теперь из отношение и подставив его в найдем выражение для соответствующих функций, определяющих форму искривления стержня при колебаниях. Кривые для первых трех типов колебаний представлены соответственно на рис. 77, а, б, в.

Пользуясь обозначением перепишем уравнение (180) в таком виде: Первые пять корней этого уравнения, определяющих частоту и период первых пяти типов колебаний стержня, следующие:

Если оба конца стержня заделаны, то граничные условия напишутся так?

Из первых двух условий следует, что в общем интеграле (171) нужно положить

Два других условия приводят к уравнениям

Отсюда для определения частоты колебаний получаем трансцендентное уравнение (180).

Для стержня с левым заделанным и правым свободным концами найдем из условий для левого конца: Условия на свободном конце приводят к уравнению

Первые шесть корней этого уравнения следующие:

Подобным же образом могут быть исследованы колебания и при других способах закрепления концов.