§ 22. Однозначность решения
Когда дифференциальные уравнения теории упругости установлены, приходится решать для них два основных вопроса: вопрос о существовании решения для составленной системы уравнений и вопрос об однозначности решения Что касается первого вопроса, то он имеет чисто математический характер. Задача о существовании интеграла для дифференциальных уравнений теории упругости до сих пор не вполне разрешена и мы этого вопроса в дальнейшем касаться не будем
Однозначность решения уравнений теории упругости для случая тел с односвязным контуром была впервые доказана Кирхгофом 2. Будем исходить при доказательстве из представления о естественном состоянии упругого тела. Если на элементы тела не действуют никакие объемные силы, а также не приложено никаких усилий к поверхности тела, то тело не испытывает никаких деформаций и все внутренние напряжения равны нулю. Предположим, что при заданных объемных силах 
и данных усилиях на поверхности 
дифференциальные уравнения равновесия (3) имеют два решения. Пусть 
представляет систему напряжений, соответствующих первому решению, и 
второму. Составим разности 
Они представят собой систему напряжений 
удовлетворяющих уравнениям
и условиям на поверхности
Напряжения эти, как следует из понятия о естественном состоянии упругого тела, равны нулю. Следовательно, системы напряжений 
тождественны, и уравнения (3) при заданных внешних силах допускают лишь одно решение.
Этот вывод основан на принципе сложения действия сил и предположении, что перемещения, обусловленные деформацией тела, не оказывают влияния на действие внешних сил. В тех случаях, когда принцип сложения действия сил не применим, одной и той же системе сил может соответствовать несколько различных форм равновесия. Эти вопросы будут рассмотрены ниже в связи с задачами об устойчивости различных форм равновесия упругого тела.
В случаях, когда тело ограничено многосвязным контуром, доказательство однозначности решения уравнений теории упругости, основанное на представлении о естественном состоянии упругого тела теряет силу, и мы будем, вообще говоря, получать многозначные решения. Физический смысл этого заключения выясним на простейшем примере. Возьмем случай кольца. Одним плоским разрезом мы можем обратить кольцо в тело с односвязным контуром. В таком теле при определенных внешних силах возникают вполне определенные напряжения и деформации. Если мы удалим внешние силы, напряжения и деформации пропадут, тело вернется к своему естественному состоянию. Удалим посредством плоского сечения тонкий слой материала кольца у места разреза. Тогда концы разрезанного кольца не будут совпадать друг с другом при отсутствии внешних сил; мы сможем привести их к соприкасанию, лишь приложив внешние силы. Предположим, что мы достигли таким путем соприкасания и скрепили (склеили, спаяли) между собой поверхности, соответствующие месту разреза, тогда по удалении внешних сил в кольце останутся напряжения, величина которых будет зависеть от того, какая часть материала кольца была удалена у места разреза. Напряжения эти, возникающие, как мы видим, в телах с многосвязным контуром, при изготовлении называют самонапряжениями или начальными напряжениями. Они именно и обусловливают многозначность решений уравнений теории упругости в случае многосвязных контуров
На практике начальные напряжения играют весьма существенную роль, но их редко удается учесть аналитически, так как обыкновенно нет точных данных относительно тех условий, благодаря которым начальные напряжения возникли.
