§ 52. Изгиб эллиптической пластинки с заделанными краями
Задача об изгибе эллиптической пластинки с заделанными краями в случае действия равномерно распределенной нагрузки решается особенно просто. В самом деле, мы удовлетворим дифференциальному уравнению
и условиям на контуре нашей пластинки (рис. 100), если положим
где для краткости введено обозначение
Рис. 100
Для проверки этого составим последовательные производные от 
При подстановке четвертых производных (f) в уравнение (а) убеждаемся, что при выбранном значении с уравнение это будет удовлетворено. Кроме того, из уравнения контура пластинки
следует 
что на контуре
т. е. прогибы на контуре равны нулю и края пластинки не поворачиваются. Таким образом, решение (b) удовлетворяет всем поставленным условиям и представляет собой искомое решение задачи.
Имея выражение для прогиба, мы легко находим все элементы, характеризующие изгиб пластинки. Наибольший прогиб получится, очевидно, в центре пластинки и мы его найдем, если в общем решении (b) положим 
Тогда
Когда 
контур пластинки обращается в круг, и мы получаем известную формулу для прогиба круглой пластинки с заделанными краями:
Другой предельный случай получим, положив 
тогда
Это — прогиб балки-полоски пролетом 2а при действии равномерно распределенной нагрузки.
Для вычисления напряжений нужно обратиться к выражениям (198) для изгибающих моментов 
Наибольших напряжений следует ожидать у концов малой полуоси эллипса и в центре пластинки. Положим 
тогда нужные для расчета значения 
будут
Следовательно, наибольшее напряжение имеет место у концов малой полуоси, где 
достигает наибольшего значения. Величина этого напряжения
Если положить 
то придем к известной формуле для круглой пластинки с заделанными краями:
При 
получим напряжение, соответствующее изгибу балки-полоски с заделанными концами под действием равномерной нагрузки. При помощи формул (198) и (205) мы можем вычислить значения 
и 
для любой точки пластинки и определить соответствующие им значения 
По этим величинам легко находятся в любой точке значения главных напряжений.
Найдем выражения для моментов и перерезывающих сил, действующих по криволинейному контуру нашей пластинки. Пусть пгпр (рис. 101) представляет элемент пластинки, выделенный у контура сечениями, параллельными плоскостям 
Рис. 101.
Направление внешней нормали к контуру и направление элемента контура примем за оси х и у. Тогда, обозначив через 
угол между 
получим такую таблицу значений косинусов углов между новыми и старыми осями:
При помощи этой таблицы составляем выражения для напряжений по площадке, нормальной к х [см. ч. первую, § 5, формулы (6) и (7)]:
Отсюда легко находим выражения для изгибающих и скручивающих моментов, действующих по краю пластинки: 
Проектируя все силы, приложенные к выделенному элементу 
на направление оси z, получаем выражение для перерезывающих сил 
действующих по краю пластинки:
Формулы (215), (216) и (217) решают вопрос о напряжениях, моментах и перерезывающей силе, действующих по любому нормальному сечению пластинки. Вычислим, например, значение перерезывающей силы на контуре нашей
пластинки. На основании общих формул (207) получаем
Кроме того, из уравнения эллиптического контура имеем
Подставляя полученные выражения 
в формулу (217), получаем
При
Этот результат для круглой пластинки можно было бы получить сразу делением нагрузки 
лежащей на пластинке, на окружность 
При составлении выражения для давлений, воспринимаемых контуром, нужно к перерезывающим силам 
присоединить непрерывно распределенные усилия, заменяющие скручивающие моменты 
Принимая во внимание направ ление для 
принятое при составлении формулы (216), мы путем таких же рассуждений, как и в предыдущем параграфе, найдем для реакций контура выражение 
Имея это выражение и формулы (216) и (217), мы легко могли бы составить граничные условия для любого способа закрепления эллиптической пластинки. К сожалению, до сих пор удалось получить решение лишь для рассмотренного выше случая пластинки с заделанными краями.
